تابع در ریاضیات – Function in mathematics

پیشینه

تابع به عنوان مفهومی در ریاضیات، توسط گوتفرید لایبنیتس (Gottfried Wilhelm Leibniz) در سال ۱۶۹۴، با هدف توصیف یک کمیت دررابطه با یک منحنی مانند شیب یک نمودار در یک نقطه خاص به‌ وجود آمد. امروزه به توابعی که توسط گوتفرید لایبنیتس تعریف شدند، توابع مشتق‌پذیر می‌گوییم.

واژه‌ی تابع بعدها توسط لئونارد اویلر(Leonhard Euler ) در قرن هجدهم، برای توصیف یک گزاره یا فرمول شامل متغیرهای گوناگون مورد استفاده قرار گرفت مانند  f(x) = sin(x) + x3.

در طی قرن نوزدهم، ریاضی‌دانان شروع به فرمول‌بندی تمام شاخه‌های ریاضی براساس نظریه ی مجموعه‌ها کردند. وایراشتراس (Karl Weierstraß) بیشتر خواهان به‌ وجود آمدن حساب دیفرانسیل و انتگرال در علم حساب بود تا در هندسه، یعنی بیشتر طرفدار تعریف اویلر بود.

در ابتدا، ایده ی تابع ترجیحاً محدود شد. ژوزف فوریه (Joseph Fourier) مدعی بود که تمام توابع از سری فوریه پیروی می‌کنند در حالی که امروزه با گسترش تعریف توابع، ریاضی‌دانان توانستند به مطالعه‌ی توابعی در ریاضی بپردازند که که در سراسر دامنه‌ی خود پیوسته ولی در هیچ نقطه‌ای مشتق‌پذیرنیستند این گونه توابع توسط وایراشتراس معرفی شدند. کشف چنین توابعی موجب شد تا توابع تنها به توابع پیوسته و مشتق‌پذیر محدود نشوند.

تابع در ریاضی چیست؟
۱۷/۰۷/۱۳۹۵ توسط تیم آموزش علم نما 14 21681
 به اشتراک گذاری در تلگرام

توابع ریاضی تابع به عنوان یک ماشین
به شکل‌های مختلفی می‌توان مفهوم تابع در ریاضی را بیان کرد. یکی از ملموس‌ترین روش‌ها، در نظر گرفتن تابع به عنوان یک ماشین است.

ماشین وسیله ای است که چیزی را به عنوان ورودی دریافت کرده، عملی بر روی ورودی انجام داده و سپس حاصل را به عنوان خروجی بیرون می‌دهد.

مثال‌های زیادی در محیط اطراف ما وجود دارد که نوعی ماشین هستند:

یک کامپیوتر اطلاعات مربوط به نمرات درسی را به عنوان ورودی دریافت می‌کند. سپس آنها را پردازش می‌کند. در نهایت میانگین دانش‌آموز را به عنوان خروجی بیرون می‌دهد.
یک لامپ انرژی الکتریکی را به عنوان ورودی دریافت می‌کند. به عنوان خروجی نور می‌دهد.
آسیاب گندم را به عنوان ورودی دریافت و آرد را به عنوان خروجی می‌دهد.
نانوایی آرد را به عنوان ورودی دریافت و به عنوان خروجی نان تولید می‌کند.
یک کارخانه میخ‌سازی، آهن را به عنوان ورودی دریافت و میخ را به عنوان خروجی تولید می‌کند.
تابع ریاضی هم دقیقاً همین کار را انجام می‌دهد. فقط در ریاضی، تابع ماشینی است که به ازای هر ورودی، دقیقاً یک خروجی تولید می‌کند. اگر بیش از یک خروجی تولید کند، دیگر تابع محسوب نمی‌شود.

در ریاضی تابع را با حروف کوچک انگلیسی نشان می‌دهند.

تابعی که در عکس بالا می‌بینید، x را به عنوان ورودی دریافت کرده و مربع آن را به عنوان خروجی بیرون می‌دهد. رابطه بالا را ضابطه‌ی تابع می‌نامند.

مثال: فرض کنید اگر ورودی بالای ۵ بود، خروجی دو برابر ورودی باشد. اگر بین ۰ تا ۵ بود، خروجی ۲ باشد و اگر ورودی کمتر از ۰ بود، خروجی قرینه ورودی باشد. در این صورت ضابطه تابع به صورت زیر تعریف می‌شود:

مثال: فرض کنید می خواهیم ماشینی داشته باشیم که هر عددی را که به عنوان ورودی پذیرفت، آن را به توان سه رسانده، با یک جمع کرده و حاصل را به عنوان خروجی تولید کند. در اینصورت، ضابطه تابع به صورت زیر است:

f(x) = x^{3} + 1

مثال: ضابطه \left |f(x) \right | = x یک تابع نیست. زیرا به ازای هر ورودی x، یک خروجی تولید نمی کند. مثلا به ازای x = 1 مقدار f(x) برابر با ۱ و ۱- است (اگر علت را نمی دانید خواص قدر مطلق را مطالعه کنید).

تابع به عنوان یک رابطه
در زندگی روزمره کلمه رابطه را خیلی زیاد به کار می‌بریم. مثلاً بیماری‌های قلبی با وزن بدن رابطه دارد. یعنی کم یا زیاد شدن وزن بدن، بر میزان ابتلا به بیماری‌های قلبی اثر می‌گذارد.

تابع هم نوعی رابطه است. مجموعه ورودی را به مجموعه خروجی ربط می‌دهد. فقط تنها شرط این رابطه اینست که هر عضو از مجموعه ورودی تنها به یک عضو از مجموعه خروجی ربط داده شود.

وقتی به تابع به عنوان یک رابطه نگاه کنیم، می‌توانیم آن را با نمودار ون نشان دهیم. چون با دو مجموعه سر و کار داریم. تنها کافیست اعضای مجموعه را با خط به هم وصل کنیم.

مجموعه اول را دامنه تابع و مجموعه دوم را برد تابع می‌نامند.

اگر از هر کدام از اعضای مجموعه اول، بیشتر از یک فلش خارج شود، دیگر تابع محسوب نمی‌شود. مثلا رابطه زیر تابع نیست.

تابع، ضرب دکارتی و زوج مرتب
ضرب دکارتی بین دو مجموعه برابر است با مجموعه‌ای از زوج‌های مرتب که مؤلفه اول هر زوج از مجموعه اول، و مؤلفه دوم هر زوج از مجموعه دوم باشد. به زبان ریاضی، ضرب دکارتی را به صورت زیر می‌نویسیم:

A\times B=\left \{ \left. (x,y)| x\in A, y\in B \right \} \right.

تابع، زیرمجموعه‌ای از ضرب دکارتی دو مجموعه است. فقط تنها شرط آن اینست که اگر مؤلفه اول دو زوج مرتب برابر باشد، باید مؤلفه دوم آنها هم برابر باشد. یعنی از یک ورودی، بیش از یک خروجی ایجاد نشود.

f = \left \{ (x,y)\in A \times B | x_{1}=x_{2}\Rightarrow y_{1}=y_{2} \right \}

مثال: مجموعه‌های A و B را به صورت زیر در نظر بگیرید:

A = \left \{ 1, 2, 3 \right \}

B = \left \{ 4, 5, 6 \right \}

ضرب دکارتی دو مجموعه برابر است با:

A \times B = \left \{ (1,4) (1,5) (1,6) (2,4) (2,5) (2,6) (3,4) (3,5) (3,6) \right \}

در این صورت مجموعه‌ زیر تابعی از مجموعه A به مجموعه B است:

f = \left \{ (1,4) (2,4) (3,6) \right \}

و مجموعه زیر تابع نیست. چون دو زوج مرتب هست که مؤلفه اول یک است ولی مؤلفه دوم متفاوت است:

g = \left \{ (1,3) (1,4) (2,5) \right \}

تا انتهای قرن نوزدهم ریاضی‌دانان در هر موضوع ریاضی به دنبال تعریفی بودند که براساس نظریه مجموعه‌ها و نتایج آن باشد. دیریکله (Johann Peter Gustav Lejeune Dirichlet ) و لوباچوسکی (به روسی: Никола́й Иа́ноич обаче́ский ) هر یک به‌طور مستقل هم‌زمان تعریف رسمی» از تابع ارائه دادند. بر طبق این تعریف، تابع، حالت خاصی از یک رابطه است که در آن برای هر مقدار اولیه یک مقدار ثانویه‌ی منحصربه‌فرد وجود دارد. تعریف تابع در علم رایانه، به عنوان حالت خاصی از یک رابطه، به‌طور گسترده‌تر در [منطق] است.

مفاهیم تابع – به زبان ساده
12 مرداد 13۹4    /  7 دقیقه مطالعه /  مسعود عبدالرحیمی‎
خانه » مفاهیم تابع – به زبان ساده
 آمار , ریاضی     23546 بازدید
هر تابعی یک ورودی را به یک خروجی ربط می‌دهد. تابع همانند ماشینی است که یک ورودی و یک خروجی دارد.

در تابع، خروجی به طریقی به ورودی وابسته است. یک تابع معمولاً به صورت (f(x نوشته می‌شود. بدین ترتیب … = (f(x» یک روش کلاسیک برای نوشتن تابع است و همانطور که در ادامه خواهید دید، روش‌های دیگری نیز برای نوشتن تابع وجود دارند. البته توجه داشته باشید در برخی مواقع می‌توان از یک تابع به‌عنوان ورودی تابعی دیگر استفاده کرد. در این حالت اصطلاحا تابعی ترکیبی را تولید کرده‌ایم.

سلام من ریاضیات مهندسی کاربردی زیاد مشکل دارم اگه میشه این تابع ریاضیات رو که زحمت کشیدیت به زبان ساده مطرح کردید.

ورودی، ضابطه، خروجی
چندین روش برای درک توابع وجود دارد؛ ولی در هر صورت، این سه بخش همیشه در یک تابع وجود دارند:

ورودی
ضابطه
خروجی
مثال: ضرب در 2» یک تابع بسیار ساده است.

سه بخش تابع اینجا نوشته شده اند:

آیا می توانید بگویید برای یک ورودی 50، خروجی چیست؟

برخی از مثال‌های تابع
x2 (مربع کردن) یک تابع است.
X3 + 1 نیز یک تابع است.
سینوس، کسینوس و تانژانت نیز توابع مورد استفاده در مثلثات هستند.
و …
اما ما در این نوشته قصد نداریم تابع خاصی را مورد مطالعه قرار دهیم و به جای آن تابع را با نگاهی عمومی بررسی می‌کنیم.

نام‌ها
در ابتدا بهتر است برای هر تابع یک نام تعیین کنیم. معمول ترین اسم  f است، اما می‌توانیم نام‌های دیگری همچون  g روی تابع بگذاریم. هر چند هر نامی می‌توان روی تابع گذاشت؛ ولی بهتر است از حروف کوچک انگلیسی استفاده شود.

به تصویر زیر توجه کنید:

در مود تابع فوق می‌گوییم افِ ایکس (f(x برابر است با مربع x”. آنچه که وارد تابع می‌شود، درون پرانتز (  ) بعد از نام تابع قرار می‌گیرد. پس (f(x به ما می‌گوید که نام تابع f است و x” وارد تابع می‌شود. معمولاً می‌خواهیم بدانیم که یک تابع با ورودی خود چه می‌کند:

f(x) = x2

به ما نشان می دهد که تابع  f، مقدار ورودی x را گرفته و آن را مربع می‌کند.

مثال: با تابع زیر:

f(x) = x2

یک ورودی 4
 به خروجی 16 تبدیل می‌شود
در واقع می‌توان نوشت: f(4) = 16

در توابع ترکیبی به‌جای x می‌تواند تابعی دیگر هم‌چون (g(x وجود داشته باشد.

x فقط یک نماد است
زیاد نگران x در مقابل نام تابع نباشید، چون به این دلیل آنجا نوشته شده است که فقط به ما نشان دهد ورودی به کجا می‌رود و چه اتفاقی برای آن می‌افتد. این مقدار x می‌تواند هر چیزی باشد.

به جای x هر چیزی دیگری می‌توانیم بنویسیم. پس این تابع f(x) = 1 – x + x2 همان تابع‌های زیر است:

f(q) = 1 – q + q2
h(A) = 1 – A + A2
w(θ) = 1 – θ + θ2

متغیر ( x, q, a, …) آنجاست که بدانیم عدد مورد نظر را کجا قرار خواهیم داد:

f(2) = 1 – 2 + 22 = 3

گاهی اوقات تابع اسمی ندارد و به شکل زیر است:

y = x2

اما هنوز این موارد را داریم:

یک ورودی (x)
یک ضابطه (مربع کردن)
یک خروجی (y)
ارتباط
در ابتدای متن گفتیم که یک تابع همانند یک دستگاه عمل می‌کند. اما یک تابع در واقع تسمه یا چرخ دنده یا قسمت متحرک دیگری ندارد. در حقیقت هر چه در آن می‌گذاریم، نابود‌ نمی‌شود. یک تابع یک ورودی را به یک خروجی نسبت می‌دهد. هنگامی که گفته می‌شود:

f(4) = 16

به این معنی است که عدد 4 به نحوی با 16 در ارتباط است. یا: 4 → 16

مثال:

فرض کنید این درخت هر سال، 20 سانتی متر قد می‌کشد، پس ارتفاع درخت به سن آن وابسته است. در تابع h می‌بینیم:

20 × سن = (سن) h

پس، اگر سن درخت 10 سال باشد، ارتفاع برابر خواهد بود با:

h (10) = 10 × 20 = 200 cm

اینجا چند مقدار را به طور مثال می بینید:

تابع چه نوع چیزهایی را پردازش می‌کند؟
بدیهی است که تابع اعداد را پردازش می‌کند؛ اما سوال این است که چه نوع اعداد؟ برای مثال، تابع ارتفاع درخت برای سن زیر 0 بی‌معنی خواهد بود. همچنین ورودی تابع می‌تواند حروف (B →  A)، یا کدهای شناسایی (وارد شو → A6309) یا حتی چیزهای عجیب‌تری نیز باشد.

پس ما به ورودی قدرتمندتری احتیاج داریم، و اینجاست که مجموعه‌ها وارد عمل می‌شوند:

مفاهیم تابع

یک مجموعه، دسته ای از اشیا است.

چند مثال از مجموعه‌ها را می‌بینیم:

مجموعه اعداد زوج: { …, -4, -2, 0, 2, 4, …}
مجموعه لباس ها: { کلاه”، پیراهن”،…}
مجموعه اعداد اول: {2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, …}
مضرب های مثبت 3 که کمتر از 10 هستند: {3, 6, 9}
به هر شئ در داخل مجموعه (همانند 4» یا کلاه»)، یک عضو گفته می‌شود. پس، یک تابع اعضای یک مجموعه را می گیرد، و سپس اعضای یک مجموعه دیگر را باز می‌گرداند.

تابع قاعد خاصی دارد
یک تابع قوانین ویژه‌ای دارد:

تابع همواره باید به همه ورودی‌های ممکن پاسخ دهد
و تنها برای هر ورودی نیز تنها یک رابطه خواهد داشت.
این قوانین می توانند در یک جمله نوشته شوند:

تعریف رسمی یک تابع

یک تابع هر عضو یک مجموعه را دقیقا با یک عضو از یک مجموعه دیگر مرتبط می‌کند (امکان دارد همان مجموعه باشد).

دو نکته مهم
1- عبارت هر عضو…» به این معنی است که هر عضو در مجموعه X به برخی اعضای مجموعه Y مرتبط است. می‎گوییم که تابع، مجموعه X را پوشش می‎دهد، یعنی تمامی اعضای آن را مرتبط می کند. اما برخی از اعضای Y ممکن است کلا مرتبط نباشند، که ایرادی ندارد.

2- عبارت دقیقا یک…» به این معنی است که یک تابع تک مقداری است. پس برای یک ورودی، 2 نتیجه یا بیشتر نخواهد داد.

بنابراین تابعی به شکل زیر در ریاضیات وحود ندارد:

9 یا 7 = (2)f

نکته: یک به چند» مجاز نیست؛ اما چند به یک» مجاز است:

مفاهیم تابع
(یک به چند)

این در یک تابع مجاز نیست

مفاهیم تابع
(چند به یک)

اما این در توابع مجاز است

اگر یک رابطه از دو قانون بالا پیروی نکند، این رابطه یک تابع نیست. در واقع همچنان یک رابطه هست؛ اما تابع محسوب نمی‌شود.

مثال: رابطه x → x2

می توان آن را در جدول نیز نوشت:

این یک تابع است، چون:

هر عضو در X به عضوی در Y مرتبط است
هیچ عضوی در X شامل دو یا چند رابطه نیست
پس از قوانین تابع پیروی می کند. دقت کنید که چگونه هر دو عدد 4 و 4- با 16 در ارتباط هستند، و این ارتباط مجاز است.

مثال: این رابطه یک تابع نیست:

این یک رابطه است؛ اما یک تابع نیست، چون که:

مقدار 3 در X رابطه‌ای با Y ندارد
مقدار 4 در X رابطه‌ای با Y ندارد
مقدار 5 با بیش از یک مقدار در Y ارتباط دارد
اما این مسئله که 6 در Y رابطه‌ای ندارد به تابع نبودن کمکی نمی‌کند.

آزمایش با یک خط عمودی

روی یک نمودار، تک مقداری به این معنی است که هر خط عمودی، منحنی را هیچگاه بیش از یک بار قطع نمی‌کند. اگر بیش از یک بار قطع کند، همچنان یک منحنی است، اما تابع نیست. برخی از انواع توابع وجود دارند که قوانین سخت‌تری دارند، برای مثال می‌توان به توابع یک‌به‌یک اشاره نمود.

تعداد اعضای بسیار زیاد
در این مثال‌ها تنها چند مقدار دیدید، اما توابع معمولاً بر اساس مجموعه هایی با عضوهای بی‌نهایت زیاد کار می‌کنند.

تعریف توابع - کاربرد تابع در ریاضیات -توابع ریاضی

مثال:

y = x3

مجموعه ورودی‌های X» تمامی اعداد حقیقی است
مجموعه خروجی‌های Y» نیز تمامی اعداد حقیقی است
در این مورد نمی‌توانیم تمامی مقدار‌ها را نشان دهیم. پس چند تا از مقدارها را بعنوان مثال می‌نویسیم:

دامنه، هم دامنه و برد
در مثال های بالا:

مجموعه X» دامنه،
مجموعه Y» هم دامنه، و
مجموعه اعضایی که در Y مرتبط شده‌اند (مقدارهای بدست آمده از یک تابع)، برد نامیده می‌شوند.
این موضوع به صورت دقیق در مطلب دامنه و برد تابع — به زبان ساده» مورد بررسی قرار گرفته است.

عناوین زیاد برای تابع‌های مختلف
توابع در ریاضیات به مدت زیادی است که استفاده می‌شوند، و نام‌ها و روش‌های مختلفی برای نوشتن توابع وجود دارد. در ادامه برخی از اصطلاحات معمول‌تر را که باید با آنها آشنا شوید ارائه می‌کنیم:

مثال: در تابع زیر

z = 2u3

u» می تواند متغیر مستقل» نامیده شود
z» می تواند متغیر وابسته» (که وابسته به مقدار u است) نامیده شود
مثال: در تابع زیر

f(4) = 16

4” می تواند آرگومان” نامیده شود
16” نیز می تواند مقدار تابع” نامیده شود
زوج‌های مرتب
زوج مرتب روشی دیگر برای نوشتن مقادیر تابع است. ورودی و خروجی یک تابع را می‌توان به صورت یک زوج مرتب» نوشت. همانند (4,16) به این زوج‌ها مرتب گفته می‌شود، چون ورودی همواره در اول و خروجی به عنوان عبارت دوم می‌آید:(خروجی,  ورودی). پس به این شکل خواهد بود:

(x, f(x))

مثال:

(4,16) به این معنی است که تابع مقدار 4 را می‌گیرد و 16 را در پاسخ می‌دهد.

مجموعه زوج‌های مرتب

یک تابع می‌تواند به شکل مجموعه‌ای از زوج‌های مرتب باشد:

مثال:

{(2,4), (3,5), (7,3)}

تابعی است که می‌گوید 2 به 4 مربوط است»، 3 به 5 مربوط است» و 7 به 3 مربوط است».

همچنین، به یاد داشته باشید که:

دامنه برابر {7 ,3 ,2} است (مقادیر ورودی)
و برد برابر {3 ,5 ,4} است (مقادیر خروجی)
اما تابع باید تک مقداری باشد، پس همچنین می‌توانیم بگوییم:

اگر شامل (a,b) و (a,c) باشد، پس b باید با c برابر باشد”

که منظور آن این است که ورودی a نمی‌تواند دو نتیجه متفاوت داشته باشد.

مثال:

{(2,4), (2,5), (7,3)}

این مجموعه یک تابع نیست چرا که {2,4} و {2,5} به این معنی است که 2 می‌تواند به 4 یا 5 مرتبط باشد. به عبارتی دیگر این مجموعه تابع نیست، چون تک مقداری نیست.

مزیت زوج‌های مرتب

می توانیم نمودار آنها را رسم کنیم.

چرا که این‌ها مختصات نیز هستند. پس یک مجموعه از مختصات نیز در صورتی که  قوانین بالا را رعایت کند، یک تابع است.

یک تابع می‌تواند قسمت‌های مختلفی داشته باشد
می‌توانیم توابعی بسازیم که نسبت به مقدار ورودی، عکس‌العمل متفاوتی نشان دهند.

مثال: یک تابع با دو قسمت:

هنگامی که x کمتر از 0 است، خروجی 5 است
هنگامی که x بزرگتر یا مساوی 0 است، خروجی x2 است.

برخی از اعداد:

تابع صریح در مقابل تابع ضمنی
آخرین موضوعی که در خصوص تابع‌های بررسی می‌کنیم، توابع صریح و ضمنی هستند. به یک تابع زمانی صریح می‌گوییم که دقیقاً به ما نشان دهد چگونه از x به y می رویم، مانند:

y = x3 – 3

در این وضعیت اگر x را بدانیم، می توانیم y را بیابیم. این همان مدل کلاسیک تابع زیر است.

y = f(x)

تابع ضمنی تابعی است که به طور مستقیم ارائه نمی‌شود مانند:

x2 – 3xy + y3 = 0

در تابع فوق اگر x را بدانیم، y را چگونه می‌یابیم؟ شاید سخت  و یا حتی غیر ممکن باشد که مستقیماً از x به y برسیم. اصطلاح ضمنی» از واژه ضمن عریی گرفته شده که به معنی غیر مستقیم است. در آینده در مورد رسم توابع چند جمله‌ای نیز صحبت خواهیم کرد.

نتیجه گیری
یک تابع ورودی را به خروجی ربط می‌دهد.
یک تابع اعضا را از یک مجموعه (دامنه) گرفته و آن‌ها را به اعضای یک مجموعه دیگر (شاید همان مجموعه) ربط می‌دهد (هم دامنه).
تمامی خروجی‌ها (مقادیری که به آن مقدارهای دیگری مرتبط شده‌اند) کلاً بُرد نامیده می‌شوند
یک تابع نوعی رابطه ویژه است که: 1) هر عضو در دامنه را شامل می‌شود و 2) هر ورودی تنها یک خروجی تولید می‌کند
یک ورودی و خروجی مرتبط با آن، در مجموع زوج مرتب نامیده می‌شوند
یک تابع همچنین می‌تواند به عنوان مجموعه زوج‌های مرتب نیز نمایش داده شود.
در آینده در مورد دیگر مفاهیم مرتبط با تابع همچون نقطه عطف و ماکزیمم و مینیمم آن بحث خواهیم کرد.

کنکور سراسری - ریاضی فیزیک

کنکور سراسری - علوم تجربی

کنکور سراسری - علوم انسانی

کنکور سراسری خارج از کشور

ریاضیات دوره اول و دوم متوسطه

ریاضی 7 هندسه2 (یازدهم ریاضی)

ریاضی 8 حسابان1 (یازدهم ریاضی)

ریاضی 9 آمار و احتمال (یازدهم ریاضی)

ریاضی1 (دهم تجربی – ریاضی) ریاضی و آمار3 (دوازدهم انسانی)

هندسه1 (دهم ریاضی) ریاضی3 (دوازدهم تجربی)

ریاضی و آمار1 (دهم انسانی) هندسه3 (دوازدهم ریاضی)

ریاضی1 (دهم هنرستان) حسابان2 (دوازدهم ریاضی)

ریاضی2 (یازدهم تجربی) ریاضیات گسسته (دوازدهم ریاضی)

ریاضی و آمار2 (یازدهم انسانی)

ریاضیات دبیرستانی (نظام قدیم)

ریاضی 1 جبر و احتمال

ریاضی 2 مبانی علم رایانه

هندسه 1 ریاضی سوم فنی

آمار و مدل سازی ریاضی عمومی چهارم تجربی

هندسه 2 ریاضی پایه چهارم انسانی

ریاضی سوم تجربی حساب دیفرانسیل و انتگرال

ریاضی ویژه سوم انسانی ریاضیات گسسته

حسابان هندسه تحلیلی و جبر خطی

اگر این مطلب مورد توجه شما قرار گرفته است، موارد زیر نیز احتمالاً برای شما مفید هستند:

سپاسگزار لطف و حسن نگاهت 

مفهوم توابع ریاضی یکی از مباحث مهم حساب دیفرانسیل و انتگرال است در این جزوه آنلاین تلاش کردیم هر نکته ای را که فکر می کنیم مفید است برای .

فوق العاده هست این مثالها ،  کاربردها ،  حالتها 

یک نکته را عرض کنم که "بی نهایت " در ریاضیات ؛ عدد یا حروف یا مقطع نیست هبلکه مقام هست ، مقام محو ، سکوت ، سرور ، بی شکلی ، هفت بدن و … و تمامی اشکال و هندسه ها و خلاقیت ها و شهودات از اآنجا ریشه دارند … به عنوان نمونه همین نوار موبیوس در مقام سرور و بی نهایت ؛ بی نهایت حالت و خلاقیا را آشکار و ارمغان می کند … 

به زودی پستی را با عنوان "هندسه  چشم و هوش  گردش ها و هستی ها " می نویسم و تقدیممی کنم.

پاینده و تابتده باشی 

تعریف تابع

تابع یکی از مفاهیم نظریه مجموعه‌ها، حساب دیفرانسیل و انتگرال و آنالیز در ریاضیات می‌باشد. وبر اساس آن حد و پیوستگی و مشتق را می‌توان تعریف نمود. به طور ساده، به قائده های تناظری که به هر ورودی خود یک و فقط یک خروجی نسبت می‌دهند تابع گفته می‌شود.

تابع یک به یک

در ریاضیات یک تابع دوسویی (یا تناظر یک به یک) به تابعی میان اعضای دو مجموعه گفته می‌شود به شرط این که هر عضو از هر مجموعه با دقیقاً یک عضو از مجموعه دیگر جفت شده باشد.

 به جرات می توان گفت که بخش توابع یکی از مهم ترین مباحث ریاضیات پایه است.در صورت فهم عمیق این مبحث ،می توان درک خوب و صحیح از مباحث

تابع پوشا

واژه‌ی پوشا و واژه‌های یک به یک و دوسویی در سال ۱۹۳۵، توسط Nicolas Bourbak، گروهی از ریاضی دانان اصالتاً فرانسوی که کتاب‌هایی را در زمینه‌ی ریاضیات پیشرفته نوشتند، معرفی شد. واژه‌ی پوشا به این معنی است که تصویر دامنه‌ی تابع کاملاً برد تابع را می‌پوشاند.

چگونه از بازاریابی ویدیویی استفاده کنیم

آموزش و تدریس خصوصی ریاضی در شیراز

آموزش و تدریس خصوصی ریاضی