تدریس ریاضیات دانشگاهی

برای یادگیری بهتر ریاضیاتدانشگاهی، در ابتداباید تلاش کرد که اشکالات ریاضی (به صورت مبحثی یا کلی) در دوره های متوسطه را برطرفکرد. به هر حال درس ریاضی مباحث به هم مرتبطی دارد و اگر پایه ریاضی شما از ابتدایکار قوی نباشد در یادگیری مباحث جدید با اشکال روبه رو  خواهید داشت.

 شما  می توانید با شرکت در کلاس‌های تدریس خصوصیریاضی و یا با تلاش بیشتر در شروع ترم که هنوز مباحث زیادی گفته نشده است یا قبلاز آغاز ترم، اشکالات پایه ای خود در درس ریاضی را برطرف کنید. این مقطع، مانند متوسطه نیست که فقط یک کتاب داشته باشید وباید کتاب‌های مختلفی را در جهت یادگیری سرفصل‌های مشخص شده در دروس ریاضی را مطالعهنمایید. 

حضور در کلاس های تدریس ریاضی در تمام مقاطع بسیار ضروری و مهم است بهخصوص در مقطع دانشگاه که عدم حضور در کلاس‌های ریاضی، جبران را تا حدی سخت خواهد کرد. یادگیری دروسریاضی دانشگاهی نیز مانند دروس ریاضی متوسطه و دبستان، نیاز به تمرین و تکراردارد.

 در دانشگاه درس خواندن باید جهت دار باشد و اگر دانشجو در رشته ای غیر ازریاضی تحصیل می کند که ریاضی درس پایه ای و مهم در این رشته است باید تلاش بیشتریدر جهت یادگیری این درس انجام دهد.

 و اگر دانشجو در دانشگاه، در رشته ریاضی تحصیلمی کند در درجه اول باید روی اصل دروس و زیر بنای آن و بعد هم کار پژوهشی در زمینهای که علاقه دارد  متمرکز شود. بعضیدانشجویان در این رشته تب و تاب مقاله دادن دارند و فقط سعی می کنند مقاله بنویسندکه اگر مقاله نوشتن هدف شود صحیح نیست.

آموزش و تدریس ریاضی ۱۰۰% تضمینی، بصورت کلاس های خصوصی و گروهی از پایه تا کارشناسی ، توسط برترین اساتید دانشگاه و معلمان برگزیده

وبسایت فدیکا مرکزی جامع جهت معرفی اساتید و معلمان ریاضی می باشد. ما با ایجاد بستری امن و مناسب در کلاس های تقویتی ریاضی فضای را فراهم میکنیم تا دانش آموزان و دانشجویان بتوانند از طریق پرسش و پاسخ، نقاط کور و مبهم در حل مسئله را شناسایی کنند.

 طبیعی است که انتظار کاربردی شدن از رشته ریاضی نسبت به رشته های فنیمهندسی کمتر باشد اما توصیه می شود دانشجویان این رشته، اول پایه و اصول اولیهرشته ریاضی را یاد بگیرند و بعد هم در زمینه پژوهش به سمت کاربردی شدن حرکت کنند.

لیست مقالات، جزوات،نمونه سوالات و نرم افزارهای مرتبط  که درآیندهنزدیک در وبسایت بارگزاری خواهد شد

توابع (یکه به یک- پوشا- زوج و فرد- جزء صحیح- گویا- تحلیلی- برداری-جبری و غیرجبری- پیوسته- مشتق پذیر- علامت- مثلثاتی- هذلولوی- نمایی- لگاریتمیو.)، حد و پیوستگی، مشتق وقواعد مشتق گیری (قاعده ضرب- قاعده زنجیره ای- مشتقتابع وارون- قاعده توان- قاعده خارج قسمت-

 مشتق توابع نمایی و لگاریتمی- مشتقتوابع مثلثاتی- مشتق توابع هذلولوی و.)، آمار و احتمال، ، معادلات و نامعادلات،دنباله‌ها (حد دنباله- یکنوایی دنباله- دنباله کوشی- دنباله فیبوناتچی- دنباله حسابی-دنباله هندسی- دباله همگرا- دنباله واگرا و…)، مثلثات شامل (تابع های اصلی مثلثاتی-دایره واحد مثلثاتی- تناوب- تابع وارون- کاربرد اتحادها در مثلث- قانون سینوس ها-قانون کسینوس ها- رابطه های تبدیل زاویه

زاویه محاطی- زاویه مرکزی- وضعیت نسبی دودایره- وضعیت نسبی خط و دایره- روابط بین نسبت‌های مثلثاتی- نمودار توابع مثلثاتی-معادلات مثلثاتی و…)، مبحث بردارها( ضرب مختلط- مساحت مثلث و متوازی الاضلاع- قرینه بردار نسبت به بردار- ضربداخلی و اتحادها- زاویه بین دو بردار- ضرب خارجی- ضرب مضاعف- تصویر بردار بر یکبردار)، حجم های هندسی (منشوری- کروی- هرمی- مربع- مستطیل- مثلث- 

متوازی الاضلاع-ذوزنقه- دایره- بیضی- مکعب- مکعب مستطیل- استوانه- هرم- مخروط- کره- کره بیضویو.)، زاویه ها (حاده- نیم صفحه- آینه ای یا بازتابی و.)

نمونه سوالات امتحانات نهایی نوبت اول و دوم پایه های تحصیلی(دبستان-متوسطه اول- متوسطه دوم) به همراه پاسخنامه تشریحی، نمونه سوالات نوبت شهریور ماهپایه های مختلف تحصیلی 

آموزش و تدریس خصوصی ریاضی توسط اساتید مجرب
برگزاری کلاس های تقویتی ویژه استعداد های درخشان
کلاس حل تمرین، رفع اشکال و جمع بندی مطالب درسی
آموزش تضمینی کلیه واحدهای درسی از پایه تا دانشگاه

به همراه پاسخنامه تشریحی، سوالات کنکورهای تجربی- ریاضی-انسانی و فنی در سال های مختلف به همراه پاسخنامه تشریحی، ماشین حساب آنلاین، رسمآنلاین نمودار توابع

تدریس ریاضی پایه اول تا ششمابتدایی

آموزش و تدریس ریاضی در مقطعدبستان با استفاده از روش های (سخنرانی- نمایشی- یادگیری اکتشافی- پرسش و پاسخ-سمعی و بصری) در کلاس توسط معلمانی دانا، با مهارت، مهربان

به طور خلاصه هر یک از روش هایگفته شده شرح می دهیم.

روش سخنرانی در تدریس:

ارائه مفاهیم ریاضی به صورت شفاهی ازطرف معلم و یادگیری دانش آموزان از طریق گوش دادن و یا یاداشت برداشتن اساس كاراینروش را تشكیل می دهد. از خصوصیات این روش فعال و متكلم الوحده بودن  معلم وغیر فعال بودن دانش آموز است. در این روش مبحث درسی بیان و جمع بندی و نتیجه گیریمی شود.

روش نمایشی در تدریس:

در روش تدریس نمایشی، مطالب درسی بااستفاده از بیان شفاهی یا کتاب و یا کامپیوتر در اختیار یاد گیرنده قرار می گیرد.در این روش هدف، انتقال معلومات و مهارت هاست نه پرورش تفکر و خلاقیت.

روش اکتشافی تدریس:

در یادگیری اکتشافی، دانش آموز بایدخود مسئله را مشخص کند، راه حل های ممکن را برای آن پیدا کند، این راه حل ها را باتوجه به شواهد، آزمایش کند و با توجه به این آزمایش ها، نتیجه گیری های مناسبی بهدست آورد و سپس این نتیجه گیری ها را در موقعیت های جدید  به کار گیرد وسرانجام به قوانین کلی و قابل تعمیم، دست یابد. در این روش هدف، پرورش تفکر وخلاقیت است.

فواید استفاده از روش تدریس اکتشافی:1- پرورش قدرت تفکر 2- افزایش انگیزه درونی 3- پرورش اعتماد بنفس 4- نظم دادن بهمطالب 5- افزایش قدرت خلاقیت 6- گروهی بودن

روش سمعی- بصری تدریس:

گروهی از افراد هستند که با دیدن تصاویر و خواندن مطالب آن رافرا. می گیرند، که به این روش، یادگیری بصری می گویند. گروهی نیز با شنیدنمطالب آن را فرا می گیرند که به این روش سمعی گفته می شود.
در روش سمعی- بصری برای یادگیری بهتر می توانید:

Book:James R. Munkres/Topology/Second Edition

کتاب توپولوژی مانکرز (Munkres / Topology)

کتاب توپولوژی Munkres ، مقدمه‌ای برای توپولوژی است که پوشش عمیق و جداگانه‌ای ازتوپولوژی عمومی و توپولوژی جبری  را ارائه می‌دهد. این کتاب شامل مثال ها وشکل‌های بسیاری است. در بحث توپولوژی عمومی این کتاب، به مباحثی چون نظریه و منطق، فضاهای توپولوژیکی و توابع پیوسته، همبستگی وفشردگی، اصول موضوعه جدایی و شمارش، قضیه‌های متری سازی و نیمه فشرده، قضیه‌ی Tychonoff ، فضاهای متریک کامل و تابع های فضایی، فضاهای Baire و نظریه‌ی اندازه پرداخته شده است. هم‌چنین در بحث توپولوژی جبری این کتاب، مباحثی چون گروه اساسی، قضیه‌های جدایی، قضیه‌ی  Seifert-van Kampen، طبقه بندی سطوح، طبقه بندی فضاهای پوششی، وکاربرد نظریه‌ی گروه آورده شده است. برای کسی که نیاز به پایه‌ای در زمینه توپولوژی دارد این مقدمه می تواند مفید واقع شود.

آئین نامه جوایز در ریاضی

اساسنامه اعطای جایزه‌ها و نشان‌های انجمن ریاضی ایران

به منظور تجلیل و پاسداشت از مقام استادان برجسته و پیش‌کسوت ریاضی کشور، انجمن ریاضی ایران جوایزی را به نام برخی از آنان ایجاد می‌نماید. این اساس نامه به این منظور تهیه شده است.

ایجاد جایزه

پیشنهاد ایجاد یک جایزه، توسط یک شخص، یک گروه یا نهاد به انجمن ریاضی ایران ارائه می‌گردد. شورای اجرایی انجمن ریاضی ایران با بررسی همه‌ی جوانب نسبت به تصویب یا رد پیشنهاد اقدام می‌نماید. در این خصوص موارد عمده ی زیر مورد توجه قرار می‌گیرند.

1. اگر چنان‌چه دانشگاهی متقاضی ایجاد یک جایزه به نام شخصیتی برجسته با مسئولیت خود باشد انجمن همکاری لازم را برای فعال سازی جایزه مذکور مبذول می‌دارد.
2. در ایجاد یک جایزه علاوه بر بررسی شاخص بودنِ فرد، چگونگی تأمین منابع مالی جایزه برای بلند مدت مد نظر و ملاک عمل قرار می‌گیرد. سرمایه اولیه برای ایجاد یک جایزه جدید، نباید از بیست برابر ارزش میانگین آخرین پنج جایزه اهدا شده انجمن کمتر باشد.

هیأت امنای جایزه

پس از ایجاد یک جایزه، انجمن ریاضی برای تعیین هیأت امنا جایزه اقدام می‌نماید. هیأت امنا هر جایزه بین ۴ تا ۷ نفر از افراد صاحب نظروعلاقه مند به شاخه مرتبط با جایزه( که حداقل یک نفر آن عضو شورای اجرایی انجمن بوده و به عنوان دبیر، هماهنگی های لازم با انجمن را بر عهده می‌گیرد) برای یک دوره‌ی ۳ ساله توسط شورای اجرایی تعیین می‌گردد و تجدید عضویت هر فرد برای سه دوره متوالی بلامانع است. به علاوه عضویت یا حضور یک نماینده از طرف خانواده شخصی که جایزه به نام ایشان است در ترکیب هیأت امنا توصیه می‌گردد. آئین نامه جوایز در ریاضی

وظایف هیأت امنا

1. هیأت امنا در نخستین نشست خود که به دعوت رئیس انجمن تشکیل می‌شود، یکی از اعضا را به عنوان رئیس انتخاب میکند. اداره جلسات و دیگر امور مربوطه به عهده رئیس می‌باشد.
2. تدوین آئین نامه جایزه یا تغییر در مفاد آن( با توجه به ویژگی‌های هر جایزه) در چارچوب این اساسنامه با پیشنهاد هیأت امنا و تصویب شورای اجرایی انجمن انجام می‌گیرد.
3. تلاش برای تأمین هزینه‌ها، تقویت منابع مالی و سرمایه گذاری، از طریق ارتباط با اشخاص حقیقی و حقوقی و ترغیب آنان جهت کمک به تداوم اعطای جایزه و تعالی آن
4. تصمیم گیری در خصوص قبول یا رد هدایای اهدا شده به جایزه
5. تدوین و تصویب اولیه فرم‌ها، معیا‌های لازم و چگونگی انتخاب آثار برجسته
6. تعیین نوع، میزان، زمان، مکان و نحوه اعطای جایزه
7. ارائه گزارش نهایی و برآورد هزینه‌های لازم به شورای اجرای جهت تأیید و صدور دستور پرداخت
8. هماهنگی با شورای اجرایی جهت برگزاری شایسته مراسم اعطای جایزه
9. ارائه فراخوان و اطلاع رسانی لازم برای جذب آثار
10. بررسی چگونگی خاتمه یافتن احتمالی یک جایزه
11. انجام هر اقدام لازم دیگر مربوط به جایزه با توجه به اساسنامه انجمن و این آئین نامه
12. رئیس هیأت امنا گزارش مکتوب در خصوص انتخاب اثر برتر و ریز هزینه‌های مربوط به اهدای جایزه جهت طرح در شورای اجرایی تسلیم انجمن نموده تا شورا پس از بررسی گزارش، اجازه برداشت هزینه‌های مربوط به جایزه را از حساب‌های ویژه جایزه صادر نماید.

به جز موارد فوق،

• مجموع مبالغی که به منظور اعطای هر جایزه هزینه می شود نباید از۲٫۳ سود سرمایه مربوط به جایزه(از زمان اعطای جایزه قبلی) بیشتر باشد. آئین نامه جوایز در ریاضی  هم چنین نباید این مبلغ از حداقل‌های تعیین شده توسط شورای اجرایی انجمن کمتر باشد.
• در مواردی که مربوط به آثار برتر ارائه شده در یک همایش خاص است، اهدای جایزه‌ی مربوطه در جلسه افتتاحیه همان همایش صورت گیرد. در غیر این صورت، در جلسه افتتاحیه کنفرانس‌های ریاضی سالانه کشوراهدا گردد.
• علاوه بر جایزه، یک لوح (یکسان برای همه جوایز) و یک نشان با نقش آرم انجمن ریاضی ایران توسط انجمن به هر یک از برندگان اهدا گردد.

این اساسنامه در تاریخ ۲۸ آذر ماه سال ۱۳۹۲ به تصویب شورای اجرایی انجمن ریاضی ایران رسید.

در حال حاضر ده جایزه به شرح زیر تأسیس شده است.

1. جایزه‌ی عباس ریاضی کرمانی ( مقاله‌های برتر کنفرانس‌های ریاضی سالانه کشور)
2. جایزه‌ی تقی فاطمی (بهترین مدرس ریاضی)
3. جایزه‌ی غلامحسین مصاحب (نویسندگان آثار برجسته‌ی ریاضی به فارسی)
4. جایزه‌ی منوچهر وصال (مقاله‌های برتر ارائه شده در سمینار‌های سالانه آنالیز کشور)
5. جایزه‌ی محسن هشترودی (مقاله‌های برتر در سمینار‌های دوسالانه هندسه و توپولوژی)
6. جایزه‌ی محمد هادی شفیعی‌ها (بهترین ویراستار متون ریاضی به زبان فارسی)
7. جایزه‌ی ابوالقاسم قربانی (مقاله‌های برتر در تاریخ ریاضیات)
8. جایزه‌ی مهدی بهزاد (برترین مدیریت در پیش‌برد ریاضیات کشور)
9. جایزه‌ی مهدی رجبعلی پور(مقاله‌های برتر در سمینار‌های جبرخطی و کاربرد‌های آن)
10. جایزه‌ی حسن نجومی (برترین دانشجویان در ریاضیات مالی)

در زیر آئین نامه هر کدام از جوایز، هیأت امنا و برگزیدگان هر کدام را به طور جداگانه بیان می‌کنیم.

۱- جایزه‌ی عباس ریاضی کرمانی

آئین نامه اعطای جایزه‌ی عباس ریاضی کرمانی در قالب فایل pdf درزیرآورده شده است.

تدریس ریاضی شیراز - آموزش خصوصی ریاضی

هندسۀ اولیه
احتمالاً بابلیان و مصریان کهن نخستین کسانی بودند که اصول هندسه را کشف کردند. در مصر هر سال رودخانه نیل طغیان می‌کرد و نواحی اطراف رودخانه را سیل فرا می‌گرفت. این رویداد تمام علایم مرزی میان املاک را از بین می‌برد و لازم می‌شد دوباره هر کس زمین خود را اندازه‌گیری و مرزبندی کند. مصریان روش علامت‌گذاری زمین‌ها با تیرک و طناب را ابداع کردند. آن‌ها تیرکی را در نقطه‌ای مناسب در زمین فرومی‌کردند و تیرک دیگری در جایی دیگر نصب می‌شد و دو تیرک با طنابی که مرز را مشخص می‌ساخت به یکدیگر متصل می‌شدند. با دو تیرک دیگر زمین محصور شده و محلی برای کشت یا ساختمان سازی مشخص می‌شد.

در آغاز هندسه بر پایهٔ دانسته‌های تجربی پراکنده‌ای در مورد طول و زاویه و مساحت و حجم قرار داشت که برای مساحی و ساختمان و نجوم و برخی صنایع دستی لازم می‌شد. بعضی از این دانسته‌ها بسیار پیشرفته بودند مثلاً هم مصریان و هم بابلیان قضیه فیثاغورث را ۱۵۰۰ سال قبل از فیثاغورث می‌شناختند.

یونانیان دانسته‌های هندسی را مدون کردند و بر پایه‌ای استدلالی قراردادند. برای آنان هندسه، مهم‌ترین دانش‌ها بود و موضوع آن را مفاهیم مجردی می‌دانستند که اشکال مادی فقط تقریبی از آن مفاهیم مجرد بود. در سال ۶۰۰ قبل از میلاد مسیح، یک آموزگار اهل ایونیا (که در روزگار ما بخشی از ترکیه به‌شمار می‌رود) به نام طالس، چند گزاره یا قضیهٔ هندسی را به صورت استنتاجی ثابت کرد. او آغازگر هندسه ترسیمی بود. روش استنتاجی روشی است علمی (بر خلاف روش استقرایی) که در آن مسئله‌ای به وسیلهٔ قضایا و حکم‌ها ثابت می‌گردد. فیثاغورث که او نیز اهل ایونیا و احتمالاً از شاگردان طالس بود توانست قضیه‌ای را که به نام او مشهور است اثبات (ریاضی) کند. البته او واضع این قضیه نبود.

اما دانشمندی به نام اقلیدس که در اسکندریه زندگی می‌کرد، هندسه را به صورت یک علم بیان نمود. وی حدود سال ۳۰۰ پیش از میلاد مسیح، تمام نتایج هندسی را که تا آن زمان شناخته بود، گرد آورد و آن‌ها را به‌طور منظم، در یک مجموعهٔ ۱۳ جلدی قرار داد. این کتاب‌ها که اصول هندسه نام داشتند، به مدت ۲ هزار سال در سراسر دنیا برای مطالعهٔ هندسه به کار می‌رفتند.

بر اساس این قوانین، هندسهٔ اقلیدسی تکامل یافت. هر چه زمان می‌گذشت، شاخه‌های دیگری از هندسه توسط ریاضیدانان مختلف، توسعه می‌یافت. امروزه در بررسی علم هندسه انواع مختلف این علم را نظیر هندسه تحلیلی و مثلثات، هندسه غیر اقلیدسی و هندسه فضایی مطالعه می‌کنند.

خدمت بزرگی که یونانیان در پیشرفت ریاضیات انجام دادند این بود که آن‌ها احکام ریاضی را به جای تجربه بر استدلال منطقی استوار کردند. قبل از اقلیدس، فیثاغورث (۵۷۲–۵۰۰ ق. م) و زنون (۴۹۰ ق. م) نیز به پیشرفت علم ریاضی خدمت بسیار کرده بودند.

در قرن دوم قبل از میلاد ریاضیدانی به نام هیپارک، مثلثات را اختراع کرد. وی نخستین کسی بود که تقسیم‌بندی بابلی‌ها را برای پیرامون دایره پذیرفت. به این معنی که دایره را به ۳۶۰ درجه و درجه را به ۶۰ دقیقه و دقیقه را به ۶۰ قسمت برابر تقسیم کرد و جدولی بر اساس شعاع دایره به دست آورد که وترهای بعضی قوس‌ها را به دست می‌داد و این قدیمی‌ترین جدول مثلثاتی است که تاکنون شناخته شده‌است.

بعد از آن دانشمندان هندی موجب پیشرفت علم ریاضی شدند. در سدهٔ پنجم میلادی آپاستامبا، در سدهٔ ششم، آریابهاتا، در سدهٔ هفتم، براهماگوپتا و در سده نهم، بهاسکارا در پیشرفت علم ریاضی بسیار مؤثر بودند.

تاریخچه هندسه
واژه انگلیسی Geometry ( هندسه ) از زبان یونانی ریشه گرفته است. این کلمه از دو کلمه جئو»ٍ به معنای زمین و متری» به معنای اندازه گیری تشکیل شده است.بنابراین هندسه اندازه گیری زمین است. مصریان اولیه نخستین کسانی بودند که اصول هندسه را کشف کردند. هر سال رودخانة نیل طغیان نموده و نواحی اطراف رودخانه راسیل فرا می‌گرفت. 
این عمل تمام علایم مرزی میان تقسیمات مختلف را از بین می‌برد و لازم می‌شد دوباره هر کس زمین خود را اندازه‌گیری و مرزبندی نماید. آنها روشی از علامت‌گذاری زمین‌ها با کمک پایه‌ها و طناب‌ها اختراع کردند. آنها پایه‌‌ای را در نقطه‌ای مناسب در زمین فرو می‌کردند، پایه دیگری در جایی دیگر نصب می‌شد و دو پایه توسط طنابی که مرز را مشخص می‌ساخت به یکدیگر متصل می‌‌شدند.با دو پایه دیگر زمین محصور شده ، محلی برای کشت یا ساختمان سازی‌ می‌گشت. 
با برآمدن یونانیان اطلاعات ریاضی قدم به مرحله ای علمی گذاشت.در آغاز تمام اصول هندسی ابتدایی بود. اما در سال 600 قبل از میلاد مسیح ، یک آموزگار یونانی به نام تالس، اصول هندسی را از لحاظ علمی ثابت کرد. 
تالس‌ دلایل ثبوت برخی از فرضیه‌ها را کشف کرد و آغازگر هندسة تشریحی بود. اما دانشمندی به نام اقلیدس که در اسکندریه زندگی‌ می‌کرد ، هندسه را به صورت یک علم بیان نمود. 
وی حدود سال 300 قبل از میلاد مسیح ، تمام نتایج هندسی را که تا به حال شناخته بود ، گرد آورد و آنها را به طور منظم ، در یک مجموعة 13 جلدی قرار داد. این کتابها که اصول هندسه نام داشتند ، به مدت 2 هزار سال در سراسر دنیا برای مطالعه هندسه به کار می رفتند. 
براساس این قوانین ، هندسه اقلیدسی تکامل یافت. هر چه زمان می گذشت ، شاخه های دیگری از هندسه توسط ریاضیدانان مختلف ، توسعه می یافت. 
امروزه در بررسی علم هندسه انواع مختلف این علم را نظیر هندسة تحلیلی و مثلثات، هندسه غیر اقلیدسی و هندسه فضایی مطالعه می کنیم. 
خدمت بزرگی که یونانیان در پیشرفت ریاضیات انجام دادند این بود که آنان احکام ریاضی را به جای تجربه بر استدلال منطقی استوار کردند.قبل از اقلیدس، فیثاغورث( 572-500 ق.م ) و زنون ( 490 ق.م. ) نیز به پیشرفت علم ریاضی خدمت بسیار کرده بودند. 
در قرن دوم قبل از میلاد ریاضیدانی به نام هیپارک، مثلثات را اختراع کرد. وی نخستین کسی بود که تقسیم بندی معمولی بابلی ها را برای پیرامون دایره پذیرفت.به این معنی که دایره را به 360 درجه و درجه را به 60 دقیقه و دقیقه را به 60 قسمت برابر تقسیم نمود و جدولی براساس شعاع دایره به دست آورد که وترهای بعضی قوس‌ها را به دست می داد و این قدیمی ترین جدول مثلثاتی است که تاکنون شناخته شده است. 
بعد از آن دانشمندان هندی موجب پیشرفت علم ریاضی شدند. در قرن پنجم میلادی آپاستامبا، در قرن ششم ، آریاب هاتا ، در قرن هفتم ،براهماگوپتا و در قرن نهم ،بهاسکارا در پیشرفت علم ریاضی بسیار مؤثر بودند.

تابع در ریاضیات – Function in mathematics

پیشینه

تابع به عنوان مفهومی در ریاضیات، توسط گوتفرید لایبنیتس (Gottfried Wilhelm Leibniz) در سال ۱۶۹۴، با هدف توصیف یک کمیت دررابطه با یک منحنی مانند شیب یک نمودار در یک نقطه خاص به‌ وجود آمد. امروزه به توابعی که توسط گوتفرید لایبنیتس تعریف شدند، توابع مشتق‌پذیر می‌گوییم.

واژه‌ی تابع بعدها توسط لئونارد اویلر(Leonhard Euler ) در قرن هجدهم، برای توصیف یک گزاره یا فرمول شامل متغیرهای گوناگون مورد استفاده قرار گرفت مانند  f(x) = sin(x) + x3.

در طی قرن نوزدهم، ریاضی‌دانان شروع به فرمول‌بندی تمام شاخه‌های ریاضی براساس نظریه ی مجموعه‌ها کردند. وایراشتراس (Karl Weierstraß) بیشتر خواهان به‌ وجود آمدن حساب دیفرانسیل و انتگرال در علم حساب بود تا در هندسه، یعنی بیشتر طرفدار تعریف اویلر بود.

در ابتدا، ایده ی تابع ترجیحاً محدود شد. ژوزف فوریه (Joseph Fourier) مدعی بود که تمام توابع از سری فوریه پیروی می‌کنند در حالی که امروزه با گسترش تعریف توابع، ریاضی‌دانان توانستند به مطالعه‌ی توابعی در ریاضی بپردازند که که در سراسر دامنه‌ی خود پیوسته ولی در هیچ نقطه‌ای مشتق‌پذیرنیستند این گونه توابع توسط وایراشتراس معرفی شدند. کشف چنین توابعی موجب شد تا توابع تنها به توابع پیوسته و مشتق‌پذیر محدود نشوند.

تابع در ریاضی چیست؟
۱۷/۰۷/۱۳۹۵ توسط تیم آموزش علم نما 14 21681
 به اشتراک گذاری در تلگرام

توابع ریاضی تابع به عنوان یک ماشین
به شکل‌های مختلفی می‌توان مفهوم تابع در ریاضی را بیان کرد. یکی از ملموس‌ترین روش‌ها، در نظر گرفتن تابع به عنوان یک ماشین است.

ماشین وسیله ای است که چیزی را به عنوان ورودی دریافت کرده، عملی بر روی ورودی انجام داده و سپس حاصل را به عنوان خروجی بیرون می‌دهد.

مثال‌های زیادی در محیط اطراف ما وجود دارد که نوعی ماشین هستند:

یک کامپیوتر اطلاعات مربوط به نمرات درسی را به عنوان ورودی دریافت می‌کند. سپس آنها را پردازش می‌کند. در نهایت میانگین دانش‌آموز را به عنوان خروجی بیرون می‌دهد.
یک لامپ انرژی الکتریکی را به عنوان ورودی دریافت می‌کند. به عنوان خروجی نور می‌دهد.
آسیاب گندم را به عنوان ورودی دریافت و آرد را به عنوان خروجی می‌دهد.
نانوایی آرد را به عنوان ورودی دریافت و به عنوان خروجی نان تولید می‌کند.
یک کارخانه میخ‌سازی، آهن را به عنوان ورودی دریافت و میخ را به عنوان خروجی تولید می‌کند.
تابع ریاضی هم دقیقاً همین کار را انجام می‌دهد. فقط در ریاضی، تابع ماشینی است که به ازای هر ورودی، دقیقاً یک خروجی تولید می‌کند. اگر بیش از یک خروجی تولید کند، دیگر تابع محسوب نمی‌شود.

در ریاضی تابع را با حروف کوچک انگلیسی نشان می‌دهند.

تابعی که در عکس بالا می‌بینید، x را به عنوان ورودی دریافت کرده و مربع آن را به عنوان خروجی بیرون می‌دهد. رابطه بالا را ضابطه‌ی تابع می‌نامند.

مثال: فرض کنید اگر ورودی بالای ۵ بود، خروجی دو برابر ورودی باشد. اگر بین ۰ تا ۵ بود، خروجی ۲ باشد و اگر ورودی کمتر از ۰ بود، خروجی قرینه ورودی باشد. در این صورت ضابطه تابع به صورت زیر تعریف می‌شود:

مثال: فرض کنید می خواهیم ماشینی داشته باشیم که هر عددی را که به عنوان ورودی پذیرفت، آن را به توان سه رسانده، با یک جمع کرده و حاصل را به عنوان خروجی تولید کند. در اینصورت، ضابطه تابع به صورت زیر است:

f(x) = x^{3} + 1

مثال: ضابطه \left |f(x) \right | = x یک تابع نیست. زیرا به ازای هر ورودی x، یک خروجی تولید نمی کند. مثلا به ازای x = 1 مقدار f(x) برابر با ۱ و ۱- است (اگر علت را نمی دانید خواص قدر مطلق را مطالعه کنید).

تابع به عنوان یک رابطه
در زندگی روزمره کلمه رابطه را خیلی زیاد به کار می‌بریم. مثلاً بیماری‌های قلبی با وزن بدن رابطه دارد. یعنی کم یا زیاد شدن وزن بدن، بر میزان ابتلا به بیماری‌های قلبی اثر می‌گذارد.

تابع هم نوعی رابطه است. مجموعه ورودی را به مجموعه خروجی ربط می‌دهد. فقط تنها شرط این رابطه اینست که هر عضو از مجموعه ورودی تنها به یک عضو از مجموعه خروجی ربط داده شود.

وقتی به تابع به عنوان یک رابطه نگاه کنیم، می‌توانیم آن را با نمودار ون نشان دهیم. چون با دو مجموعه سر و کار داریم. تنها کافیست اعضای مجموعه را با خط به هم وصل کنیم.

مجموعه اول را دامنه تابع و مجموعه دوم را برد تابع می‌نامند.

اگر از هر کدام از اعضای مجموعه اول، بیشتر از یک فلش خارج شود، دیگر تابع محسوب نمی‌شود. مثلا رابطه زیر تابع نیست.

تابع، ضرب دکارتی و زوج مرتب
ضرب دکارتی بین دو مجموعه برابر است با مجموعه‌ای از زوج‌های مرتب که مؤلفه اول هر زوج از مجموعه اول، و مؤلفه دوم هر زوج از مجموعه دوم باشد. به زبان ریاضی، ضرب دکارتی را به صورت زیر می‌نویسیم:

A\times B=\left \{ \left. (x,y)| x\in A, y\in B \right \} \right.

تابع، زیرمجموعه‌ای از ضرب دکارتی دو مجموعه است. فقط تنها شرط آن اینست که اگر مؤلفه اول دو زوج مرتب برابر باشد، باید مؤلفه دوم آنها هم برابر باشد. یعنی از یک ورودی، بیش از یک خروجی ایجاد نشود.

f = \left \{ (x,y)\in A \times B | x_{1}=x_{2}\Rightarrow y_{1}=y_{2} \right \}

مثال: مجموعه‌های A و B را به صورت زیر در نظر بگیرید:

A = \left \{ 1, 2, 3 \right \}

B = \left \{ 4, 5, 6 \right \}

ضرب دکارتی دو مجموعه برابر است با:

A \times B = \left \{ (1,4) (1,5) (1,6) (2,4) (2,5) (2,6) (3,4) (3,5) (3,6) \right \}

در این صورت مجموعه‌ زیر تابعی از مجموعه A به مجموعه B است:

f = \left \{ (1,4) (2,4) (3,6) \right \}

و مجموعه زیر تابع نیست. چون دو زوج مرتب هست که مؤلفه اول یک است ولی مؤلفه دوم متفاوت است:

g = \left \{ (1,3) (1,4) (2,5) \right \}

تا انتهای قرن نوزدهم ریاضی‌دانان در هر موضوع ریاضی به دنبال تعریفی بودند که براساس نظریه مجموعه‌ها و نتایج آن باشد. دیریکله (Johann Peter Gustav Lejeune Dirichlet ) و لوباچوسکی (به روسی: Никола́й Иа́ноич обаче́ский ) هر یک به‌طور مستقل هم‌زمان تعریف رسمی» از تابع ارائه دادند. بر طبق این تعریف، تابع، حالت خاصی از یک رابطه است که در آن برای هر مقدار اولیه یک مقدار ثانویه‌ی منحصربه‌فرد وجود دارد. تعریف تابع در علم رایانه، به عنوان حالت خاصی از یک رابطه، به‌طور گسترده‌تر در [منطق] است.

مفاهیم تابع – به زبان ساده
12 مرداد 13۹4    /  7 دقیقه مطالعه /  مسعود عبدالرحیمی‎
خانه » مفاهیم تابع – به زبان ساده
 آمار , ریاضی     23546 بازدید
هر تابعی یک ورودی را به یک خروجی ربط می‌دهد. تابع همانند ماشینی است که یک ورودی و یک خروجی دارد.

در تابع، خروجی به طریقی به ورودی وابسته است. یک تابع معمولاً به صورت (f(x نوشته می‌شود. بدین ترتیب … = (f(x» یک روش کلاسیک برای نوشتن تابع است و همانطور که در ادامه خواهید دید، روش‌های دیگری نیز برای نوشتن تابع وجود دارند. البته توجه داشته باشید در برخی مواقع می‌توان از یک تابع به‌عنوان ورودی تابعی دیگر استفاده کرد. در این حالت اصطلاحا تابعی ترکیبی را تولید کرده‌ایم.

سلام من ریاضیات مهندسی کاربردی زیاد مشکل دارم اگه میشه این تابع ریاضیات رو که زحمت کشیدیت به زبان ساده مطرح کردید.

ورودی، ضابطه، خروجی
چندین روش برای درک توابع وجود دارد؛ ولی در هر صورت، این سه بخش همیشه در یک تابع وجود دارند:

ورودی
ضابطه
خروجی
مثال: ضرب در 2» یک تابع بسیار ساده است.

سه بخش تابع اینجا نوشته شده اند:

آیا می توانید بگویید برای یک ورودی 50، خروجی چیست؟

برخی از مثال‌های تابع
x2 (مربع کردن) یک تابع است.
X3 + 1 نیز یک تابع است.
سینوس، کسینوس و تانژانت نیز توابع مورد استفاده در مثلثات هستند.
و …
اما ما در این نوشته قصد نداریم تابع خاصی را مورد مطالعه قرار دهیم و به جای آن تابع را با نگاهی عمومی بررسی می‌کنیم.

نام‌ها
در ابتدا بهتر است برای هر تابع یک نام تعیین کنیم. معمول ترین اسم  f است، اما می‌توانیم نام‌های دیگری همچون  g روی تابع بگذاریم. هر چند هر نامی می‌توان روی تابع گذاشت؛ ولی بهتر است از حروف کوچک انگلیسی استفاده شود.

به تصویر زیر توجه کنید:

در مود تابع فوق می‌گوییم افِ ایکس (f(x برابر است با مربع x”. آنچه که وارد تابع می‌شود، درون پرانتز (  ) بعد از نام تابع قرار می‌گیرد. پس (f(x به ما می‌گوید که نام تابع f است و x” وارد تابع می‌شود. معمولاً می‌خواهیم بدانیم که یک تابع با ورودی خود چه می‌کند:

f(x) = x2

به ما نشان می دهد که تابع  f، مقدار ورودی x را گرفته و آن را مربع می‌کند.

مثال: با تابع زیر:

f(x) = x2

یک ورودی 4
 به خروجی 16 تبدیل می‌شود
در واقع می‌توان نوشت: f(4) = 16

در توابع ترکیبی به‌جای x می‌تواند تابعی دیگر هم‌چون (g(x وجود داشته باشد.

x فقط یک نماد است
زیاد نگران x در مقابل نام تابع نباشید، چون به این دلیل آنجا نوشته شده است که فقط به ما نشان دهد ورودی به کجا می‌رود و چه اتفاقی برای آن می‌افتد. این مقدار x می‌تواند هر چیزی باشد.

به جای x هر چیزی دیگری می‌توانیم بنویسیم. پس این تابع f(x) = 1 – x + x2 همان تابع‌های زیر است:

f(q) = 1 – q + q2
h(A) = 1 – A + A2
w(θ) = 1 – θ + θ2

متغیر ( x, q, a, …) آنجاست که بدانیم عدد مورد نظر را کجا قرار خواهیم داد:

f(2) = 1 – 2 + 22 = 3

گاهی اوقات تابع اسمی ندارد و به شکل زیر است:

y = x2

اما هنوز این موارد را داریم:

یک ورودی (x)
یک ضابطه (مربع کردن)
یک خروجی (y)
ارتباط
در ابتدای متن گفتیم که یک تابع همانند یک دستگاه عمل می‌کند. اما یک تابع در واقع تسمه یا چرخ دنده یا قسمت متحرک دیگری ندارد. در حقیقت هر چه در آن می‌گذاریم، نابود‌ نمی‌شود. یک تابع یک ورودی را به یک خروجی نسبت می‌دهد. هنگامی که گفته می‌شود:

f(4) = 16

به این معنی است که عدد 4 به نحوی با 16 در ارتباط است. یا: 4 → 16

مثال:

فرض کنید این درخت هر سال، 20 سانتی متر قد می‌کشد، پس ارتفاع درخت به سن آن وابسته است. در تابع h می‌بینیم:

20 × سن = (سن) h

پس، اگر سن درخت 10 سال باشد، ارتفاع برابر خواهد بود با:

h (10) = 10 × 20 = 200 cm

اینجا چند مقدار را به طور مثال می بینید:

تابع چه نوع چیزهایی را پردازش می‌کند؟
بدیهی است که تابع اعداد را پردازش می‌کند؛ اما سوال این است که چه نوع اعداد؟ برای مثال، تابع ارتفاع درخت برای سن زیر 0 بی‌معنی خواهد بود. همچنین ورودی تابع می‌تواند حروف (B →  A)، یا کدهای شناسایی (وارد شو → A6309) یا حتی چیزهای عجیب‌تری نیز باشد.

پس ما به ورودی قدرتمندتری احتیاج داریم، و اینجاست که مجموعه‌ها وارد عمل می‌شوند:

مفاهیم تابع

یک مجموعه، دسته ای از اشیا است.

چند مثال از مجموعه‌ها را می‌بینیم:

مجموعه اعداد زوج: { …, -4, -2, 0, 2, 4, …}
مجموعه لباس ها: { کلاه”، پیراهن”،…}
مجموعه اعداد اول: {2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, …}
مضرب های مثبت 3 که کمتر از 10 هستند: {3, 6, 9}
به هر شئ در داخل مجموعه (همانند 4» یا کلاه»)، یک عضو گفته می‌شود. پس، یک تابع اعضای یک مجموعه را می گیرد، و سپس اعضای یک مجموعه دیگر را باز می‌گرداند.

تابع قاعد خاصی دارد
یک تابع قوانین ویژه‌ای دارد:

تابع همواره باید به همه ورودی‌های ممکن پاسخ دهد
و تنها برای هر ورودی نیز تنها یک رابطه خواهد داشت.
این قوانین می توانند در یک جمله نوشته شوند:

تعریف رسمی یک تابع

یک تابع هر عضو یک مجموعه را دقیقا با یک عضو از یک مجموعه دیگر مرتبط می‌کند (امکان دارد همان مجموعه باشد).

دو نکته مهم
1- عبارت هر عضو…» به این معنی است که هر عضو در مجموعه X به برخی اعضای مجموعه Y مرتبط است. می‎گوییم که تابع، مجموعه X را پوشش می‎دهد، یعنی تمامی اعضای آن را مرتبط می کند. اما برخی از اعضای Y ممکن است کلا مرتبط نباشند، که ایرادی ندارد.

2- عبارت دقیقا یک…» به این معنی است که یک تابع تک مقداری است. پس برای یک ورودی، 2 نتیجه یا بیشتر نخواهد داد.

بنابراین تابعی به شکل زیر در ریاضیات وحود ندارد:

9 یا 7 = (2)f

نکته: یک به چند» مجاز نیست؛ اما چند به یک» مجاز است:

مفاهیم تابع
(یک به چند)

این در یک تابع مجاز نیست

مفاهیم تابع
(چند به یک)

اما این در توابع مجاز است

اگر یک رابطه از دو قانون بالا پیروی نکند، این رابطه یک تابع نیست. در واقع همچنان یک رابطه هست؛ اما تابع محسوب نمی‌شود.

مثال: رابطه x → x2

می توان آن را در جدول نیز نوشت:

این یک تابع است، چون:

هر عضو در X به عضوی در Y مرتبط است
هیچ عضوی در X شامل دو یا چند رابطه نیست
پس از قوانین تابع پیروی می کند. دقت کنید که چگونه هر دو عدد 4 و 4- با 16 در ارتباط هستند، و این ارتباط مجاز است.

مثال: این رابطه یک تابع نیست:

این یک رابطه است؛ اما یک تابع نیست، چون که:

مقدار 3 در X رابطه‌ای با Y ندارد
مقدار 4 در X رابطه‌ای با Y ندارد
مقدار 5 با بیش از یک مقدار در Y ارتباط دارد
اما این مسئله که 6 در Y رابطه‌ای ندارد به تابع نبودن کمکی نمی‌کند.

آزمایش با یک خط عمودی

روی یک نمودار، تک مقداری به این معنی است که هر خط عمودی، منحنی را هیچگاه بیش از یک بار قطع نمی‌کند. اگر بیش از یک بار قطع کند، همچنان یک منحنی است، اما تابع نیست. برخی از انواع توابع وجود دارند که قوانین سخت‌تری دارند، برای مثال می‌توان به توابع یک‌به‌یک اشاره نمود.

تعداد اعضای بسیار زیاد
در این مثال‌ها تنها چند مقدار دیدید، اما توابع معمولاً بر اساس مجموعه هایی با عضوهای بی‌نهایت زیاد کار می‌کنند.

تعریف توابع - کاربرد تابع در ریاضیات -توابع ریاضی

مثال:

y = x3

مجموعه ورودی‌های X» تمامی اعداد حقیقی است
مجموعه خروجی‌های Y» نیز تمامی اعداد حقیقی است
در این مورد نمی‌توانیم تمامی مقدار‌ها را نشان دهیم. پس چند تا از مقدارها را بعنوان مثال می‌نویسیم:

دامنه، هم دامنه و برد
در مثال های بالا:

مجموعه X» دامنه،
مجموعه Y» هم دامنه، و
مجموعه اعضایی که در Y مرتبط شده‌اند (مقدارهای بدست آمده از یک تابع)، برد نامیده می‌شوند.
این موضوع به صورت دقیق در مطلب دامنه و برد تابع — به زبان ساده» مورد بررسی قرار گرفته است.

عناوین زیاد برای تابع‌های مختلف
توابع در ریاضیات به مدت زیادی است که استفاده می‌شوند، و نام‌ها و روش‌های مختلفی برای نوشتن توابع وجود دارد. در ادامه برخی از اصطلاحات معمول‌تر را که باید با آنها آشنا شوید ارائه می‌کنیم:

مثال: در تابع زیر

z = 2u3

u» می تواند متغیر مستقل» نامیده شود
z» می تواند متغیر وابسته» (که وابسته به مقدار u است) نامیده شود
مثال: در تابع زیر

f(4) = 16

4” می تواند آرگومان” نامیده شود
16” نیز می تواند مقدار تابع” نامیده شود
زوج‌های مرتب
زوج مرتب روشی دیگر برای نوشتن مقادیر تابع است. ورودی و خروجی یک تابع را می‌توان به صورت یک زوج مرتب» نوشت. همانند (4,16) به این زوج‌ها مرتب گفته می‌شود، چون ورودی همواره در اول و خروجی به عنوان عبارت دوم می‌آید:(خروجی,  ورودی). پس به این شکل خواهد بود:

(x, f(x))

مثال:

(4,16) به این معنی است که تابع مقدار 4 را می‌گیرد و 16 را در پاسخ می‌دهد.

مجموعه زوج‌های مرتب

یک تابع می‌تواند به شکل مجموعه‌ای از زوج‌های مرتب باشد:

مثال:

{(2,4), (3,5), (7,3)}

تابعی است که می‌گوید 2 به 4 مربوط است»، 3 به 5 مربوط است» و 7 به 3 مربوط است».

همچنین، به یاد داشته باشید که:

دامنه برابر {7 ,3 ,2} است (مقادیر ورودی)
و برد برابر {3 ,5 ,4} است (مقادیر خروجی)
اما تابع باید تک مقداری باشد، پس همچنین می‌توانیم بگوییم:

اگر شامل (a,b) و (a,c) باشد، پس b باید با c برابر باشد”

که منظور آن این است که ورودی a نمی‌تواند دو نتیجه متفاوت داشته باشد.

مثال:

{(2,4), (2,5), (7,3)}

این مجموعه یک تابع نیست چرا که {2,4} و {2,5} به این معنی است که 2 می‌تواند به 4 یا 5 مرتبط باشد. به عبارتی دیگر این مجموعه تابع نیست، چون تک مقداری نیست.

مزیت زوج‌های مرتب

می توانیم نمودار آنها را رسم کنیم.

چرا که این‌ها مختصات نیز هستند. پس یک مجموعه از مختصات نیز در صورتی که  قوانین بالا را رعایت کند، یک تابع است.

یک تابع می‌تواند قسمت‌های مختلفی داشته باشد
می‌توانیم توابعی بسازیم که نسبت به مقدار ورودی، عکس‌العمل متفاوتی نشان دهند.

مثال: یک تابع با دو قسمت:

هنگامی که x کمتر از 0 است، خروجی 5 است
هنگامی که x بزرگتر یا مساوی 0 است، خروجی x2 است.

برخی از اعداد:

تابع صریح در مقابل تابع ضمنی
آخرین موضوعی که در خصوص تابع‌های بررسی می‌کنیم، توابع صریح و ضمنی هستند. به یک تابع زمانی صریح می‌گوییم که دقیقاً به ما نشان دهد چگونه از x به y می رویم، مانند:

y = x3 – 3

در این وضعیت اگر x را بدانیم، می توانیم y را بیابیم. این همان مدل کلاسیک تابع زیر است.

y = f(x)

تابع ضمنی تابعی است که به طور مستقیم ارائه نمی‌شود مانند:

x2 – 3xy + y3 = 0

در تابع فوق اگر x را بدانیم، y را چگونه می‌یابیم؟ شاید سخت  و یا حتی غیر ممکن باشد که مستقیماً از x به y برسیم. اصطلاح ضمنی» از واژه ضمن عریی گرفته شده که به معنی غیر مستقیم است. در آینده در مورد رسم توابع چند جمله‌ای نیز صحبت خواهیم کرد.

نتیجه گیری
یک تابع ورودی را به خروجی ربط می‌دهد.
یک تابع اعضا را از یک مجموعه (دامنه) گرفته و آن‌ها را به اعضای یک مجموعه دیگر (شاید همان مجموعه) ربط می‌دهد (هم دامنه).
تمامی خروجی‌ها (مقادیری که به آن مقدارهای دیگری مرتبط شده‌اند) کلاً بُرد نامیده می‌شوند
یک تابع نوعی رابطه ویژه است که: 1) هر عضو در دامنه را شامل می‌شود و 2) هر ورودی تنها یک خروجی تولید می‌کند
یک ورودی و خروجی مرتبط با آن، در مجموع زوج مرتب نامیده می‌شوند
یک تابع همچنین می‌تواند به عنوان مجموعه زوج‌های مرتب نیز نمایش داده شود.
در آینده در مورد دیگر مفاهیم مرتبط با تابع همچون نقطه عطف و ماکزیمم و مینیمم آن بحث خواهیم کرد.

کنکور سراسری - ریاضی فیزیک

کنکور سراسری - علوم تجربی

کنکور سراسری - علوم انسانی

کنکور سراسری خارج از کشور

ریاضیات دوره اول و دوم متوسطه

ریاضی 7 هندسه2 (یازدهم ریاضی)

ریاضی 8 حسابان1 (یازدهم ریاضی)

ریاضی 9 آمار و احتمال (یازدهم ریاضی)

ریاضی1 (دهم تجربی – ریاضی) ریاضی و آمار3 (دوازدهم انسانی)

هندسه1 (دهم ریاضی) ریاضی3 (دوازدهم تجربی)

ریاضی و آمار1 (دهم انسانی) هندسه3 (دوازدهم ریاضی)

ریاضی1 (دهم هنرستان) حسابان2 (دوازدهم ریاضی)

ریاضی2 (یازدهم تجربی) ریاضیات گسسته (دوازدهم ریاضی)

ریاضی و آمار2 (یازدهم انسانی)

ریاضیات دبیرستانی (نظام قدیم)

ریاضی 1 جبر و احتمال

ریاضی 2 مبانی علم رایانه

هندسه 1 ریاضی سوم فنی

آمار و مدل سازی ریاضی عمومی چهارم تجربی

هندسه 2 ریاضی پایه چهارم انسانی

ریاضی سوم تجربی حساب دیفرانسیل و انتگرال

ریاضی ویژه سوم انسانی ریاضیات گسسته

حسابان هندسه تحلیلی و جبر خطی

اگر این مطلب مورد توجه شما قرار گرفته است، موارد زیر نیز احتمالاً برای شما مفید هستند:

سپاسگزار لطف و حسن نگاهت 

مفهوم توابع ریاضی یکی از مباحث مهم حساب دیفرانسیل و انتگرال است در این جزوه آنلاین تلاش کردیم هر نکته ای را که فکر می کنیم مفید است برای .

فوق العاده هست این مثالها ،  کاربردها ،  حالتها 

یک نکته را عرض کنم که "بی نهایت " در ریاضیات ؛ عدد یا حروف یا مقطع نیست هبلکه مقام هست ، مقام محو ، سکوت ، سرور ، بی شکلی ، هفت بدن و … و تمامی اشکال و هندسه ها و خلاقیت ها و شهودات از اآنجا ریشه دارند … به عنوان نمونه همین نوار موبیوس در مقام سرور و بی نهایت ؛ بی نهایت حالت و خلاقیا را آشکار و ارمغان می کند … 

به زودی پستی را با عنوان "هندسه  چشم و هوش  گردش ها و هستی ها " می نویسم و تقدیممی کنم.

پاینده و تابتده باشی 

تعریف تابع

تابع یکی از مفاهیم نظریه مجموعه‌ها، حساب دیفرانسیل و انتگرال و آنالیز در ریاضیات می‌باشد. وبر اساس آن حد و پیوستگی و مشتق را می‌توان تعریف نمود. به طور ساده، به قائده های تناظری که به هر ورودی خود یک و فقط یک خروجی نسبت می‌دهند تابع گفته می‌شود.

تابع یک به یک

در ریاضیات یک تابع دوسویی (یا تناظر یک به یک) به تابعی میان اعضای دو مجموعه گفته می‌شود به شرط این که هر عضو از هر مجموعه با دقیقاً یک عضو از مجموعه دیگر جفت شده باشد.

 به جرات می توان گفت که بخش توابع یکی از مهم ترین مباحث ریاضیات پایه است.در صورت فهم عمیق این مبحث ،می توان درک خوب و صحیح از مباحث

تابع پوشا

واژه‌ی پوشا و واژه‌های یک به یک و دوسویی در سال ۱۹۳۵، توسط Nicolas Bourbak، گروهی از ریاضی دانان اصالتاً فرانسوی که کتاب‌هایی را در زمینه‌ی ریاضیات پیشرفته نوشتند، معرفی شد. واژه‌ی پوشا به این معنی است که تصویر دامنه‌ی تابع کاملاً برد تابع را می‌پوشاند.

سیستمِ پویا یا سیستمِ دینامیک (dynamical system) در ریاضیات و حل مسائل صنعتی، اجتماعی و مدیریتی، به سامانه‌هایی گفته می‌شود که حالت آن‌ها با زمان تغییر می‌کند. به عبارت دیگر، در آن یک تابع نحوه وابستگی نقاطی از یک فضای هندسی را به زمان توصیف می‌کند. پویایی سیستم» (system dynamics) را نباید با سیستم پویا» (dynamical system) اشتباه گرفت؛ این دو وماً به یک مفهوم اشاره نمی‌کنند. مثالی از یک سیستم پویا (یا سیستم دینامیک)، وابستگی زمانی نقاط مختلف یک آونگ متحرک یا آب جاری در یک لوله است. برای هر زمان معین، یک سیستم دینامیک، یک حالت» دارد که می‌توان آن را با مجموعه‌ای از اعداد حقیقی(یک بردار) که به وسیله یک نقطه در یک فضای حالت» مناسب (یک منیفلد هندسی) نشان داده می‌شود بیان کرد. برای هر تغییر کوچک در حالت سیستم دینامیکی، یک تغییر کوچک در اعداد متناظر داریم.

پیدایش سیستم‌های دینامیکی

سیستم‌های دینامیکیشاخه‌ای گسترده از دانش ریاضی و کاربردهای آن را دربرگرفته و به عنوان یکی از زمینه‌های فعال و زنده آن مطرح است. بیشتر از سه قرن پیش نیوتن بذر این علم را کاشته‌ است و این علم با تلاش دانشمندان بسیاری رشد یافت. در حدود یک قرن پیش هنری پوانکاره، این شاخه از علم را به درختی تناور و محکم مبدل کرد. ازآنجا که جریان‌های اصلی این علم به واسطه تحلیل یک مدل خاص در یک مسئله طبیعی یا ریاضی به راه افتاده‌اند و در هر زمینه‌ای تعاریف و صورت‌ بندی قضایا با موضوع مورد بحث، متناسب است طبیعی است که اختلاف نظرها و اختلاف سلیقه‌های بسیار در تعاریف و اهداف موردنظر شاخه‌ها ایجاد شوند به گونه‌ای که ممکن است حتی ذهن شخص نا آشنا را به تشتت دچارکنند. بنابراین، منشأ مفهوم سیستم دینامیکی به مکانیک نیوتنی برمی‌گردد و پیدایش مفاهیم مربوط به سامانه‌های دینامیکی از کارهای وسیع و اساسی پوانکاره درباره‌ی مکانیک اجرام آسمانی حدود یک قرن پیش شروع شد.

سیستم‌های دینامیکی

دسته بندی مختلفی از انواع سیستم‌های دینامیکی مطرح است. یه عنوان مثال، سیستم‌‌های دینامیکی گسسته و سسیستم‌های دینامیکی پیوسته، سیستم های متناهی البعد در مقابل نامتناهی البعد، سیستم های توپولوژیک درکنار مشتق پذیر، مختلط در مقابل حقیقی؛ دسته بندی دیگری نیز موجود است که بر اساس گسسته و پیوسته بودن سه مفهوم فضا، زمان و حالت معین می شود؛ این دسته بندی در جدول زیر خلاصه شده است.

سیستم‌های دینامیک خطی

سیستم‌های خطی سیستم‌هایی هستند که عملکرد آن‌ها به حالت آن‌ها بستگی نداشته باشد. یعنی تنها با دانستن نقطه ابتدایی حرکت، می‌توانیم تمامی موقعیت‌های آینده آن را بدانیم. عملکرد یک سیستم خطی دینامیکی، تنها به نقطه اولیه آن مربوط است و به حالت و موقعیت آن در زمان‌های مختلف بستگی ندارد.

سیستم‌هایی كه در آن‌ها یك رابطه خطی میان سرعت و موقعیت برقرار می‌­شود، سیستمه‌ای خطی به شمار می­‌آیند. تكامل تدریجی سیستم‌های دینامیكی خطی نیز فرآیندی خطی است. اگر دو جواب برای سیستم خطی داشته باشیم مجموع آن‌ها نیز یك جواب برای سیستم است. هم چنین سیستم‌های خطی از این قابلیت برخوردار هستند كه آن‌ها را می­‌توان با تجزیه مسئله به اجزا كوچكتر مورد بررسی قرار داده و سپس با جمع بندی نتایج، به تحلیل كلی آن‌ها اقدام كرد و این از جمله مواردی است كه تحلیل سیستم‌های خطی را آسان می­‌سازد (مانند آنالیز فوریه، مباحث برهم نهی و …). در نهایت می‌­توان گفت كه تجزیه و تحلیل معادلات مربوط به این سیستم‌ها شناخته شده است. 

سیستم‌های دینامیکی خطی، سیستم‌های دینامیکی هستند که در آن‌ها توابع ارزیابی خطی هستند. سیستم‌های دینامیکی به طور کلی راه حل‌های فرم بسته ندارند اما سیستم‌های دینامیکی خطی دارای یک مجموعه دقیق غنی از خواص ریاضی هستند. سیستم‌های خطی همچنین می‌توانند برای درک رفتار کیفی سیستم‌های دینامیکی عمومی با محاسبه نقاط تعادل سیستم و تقریب زدن آن به عنوان سیستم خطی در اطراف هر نقطه مورد استفاده قرار گیرند.

سیستم‌های دینامیکی خطی را در مقایسه با سیستم‌های غیرخطی به طور دقیق می‌توان حل کرد. علاوه بر این، راه حل‌های (تقریبی) هر سیستم غیرخطی می‌تواند با استفاده از یک سیستم خطی معادل نزدیک به نقاط ثابت آن به خوبی تقریب زده شود. از این رو درک سیستم‌های خطی و راه حل‌های آن یک گام مهم اولیه برای درک سیستم‌های غیرخطی پیچیده است.

مفاهیم اولیه در سیستم‌های دینامیکی غیرخطی آشوب (chaos)

آشــوب» در لغت به معنای هرج و مرج و بی­‌نظمی است. ریشه لغوی آشوب به كلمه رومی كائــوس» (Kaous) برمی­‌گردد كه مفهوم آن متعلق به شاعر روم باستان به نام اویــد» (Owid) می­‌باشد. به نظر او كائوس، بی­‌نظمی و ماده بی­‌شكل اولیه بود كه دارای فضا و بعد نامحدودی بوده، به طوری كه فرض شده است كه قبل از این كه جهان منظم شكل بگیرد، وجود داشته است كه سپس خالق هستی، جهان منظم را از آن ایجاد نمود.

از لحاظ تاریخی پس از آن كه قوانین نیوتــن در مورد حركت ارائه شد، افــراد زیادی با تكیه بر قطعیت ذاتی این قوانین آنهـ‌ـا را ماشین حساب خدا نامیدند و برای پیش‌گویی آینــده بر حسب مقادیر فعلی كافی دانستند؛ به طور كلی تصور بر این بود كه اگر وضعیت فعلی را با دقت بالایی بدانیم می‌توانیم آینــده را هم با همین دقت پیش‌گویی كنیم. این باور هم‌چنان پا بر جا بود تا این كه در اواخر قــرن نوزدهم، هانــری پوانكاره» در بــررسی و تلاش بــرای حل مسئله سه جسمی متــوجه شد در بعضی موارد اگر دقــت در شــرایط اولیه بالا باشد، وماً در نتــایج نهــایی عدم قطعیت ناچیز نیست و با كاهش عدم قطعیت در شــرایط اولیه وماً عدم قطعیت كاهش نمی‌­یابد. این مسئله نمودی از رفتــار آشــوبی بود كه در آن زمان شنــاخته شــده نبود. تقریبــاً اولیــن تحقیقات عددیی كه به معرفی فراگیر آشوب انجامید توسط ادوارد لورنتــس» ارائه شد.

تاكنون تعریف كلی پذیرفته شده برای آشوب ارائه نشده است و تعریف زیر از جمله تعاریف پذیرفته شده مطرح می‌­باشد:

آشــوب، یك رفتــار طولانی مدت غیرپریــودیك در یك سیستم دترمینیســتیك است كه وابستـگی حســاس به شــرایط اولیــه را نشان می‌­دهد»

• منظور از رفتار طولانی مدت غیریك در سیستم‌های دینامیكی آن است كه مسیرهایی وجود دارند كه وقتی زمان به بی­نهایت میل می‌­كند، مسیر این سیستم‌ها به نقاط ثابت، مدارهای یك و یا مدارهای شبه یك منتهی نمی‌­شوند.
• دترمینیســتیك گویای آن است كه سیستم دارای پارامترها یا ورودی­‌های تصادفی(random) نیست ولی رفتار بی نظم این سیستم‌ها از غیرخطی بودن ناشی می‌­شود. این اصطلاح در مقابل stochastic به كار می‌­رود كه منظور از آن نامنظم، كاتوره­ای، نامعین و غیرقابل پیش بینی بودن رفتار سیستم است.
• منظور از حساس بودن به شرایط اولیه در سیستم‌های دینامیكی این است كه مسیرهای مجاور با سرعت و به طور نمایی از هم جدا می­‌شوند. در واقع این خصوصیت، تفاوت اصلی سیستم‌های دینامیكی آشوبناك با سیستم‌های دینامیكی غیر­آشوبناك است. در سیستم‌های دینامیكی غیر­آشوبناك، اختلاف كوچك اولیه در دو مسیر به عنوان خطای اندازه‌­گیری بوده و به طور خطی با زمان افزایش پیدا می‌­كند در حالی كه در سیستم‌های دینامیكی آشوبناك، اختلاف بین دو مسیر با فاصله بسیار اندك همان طوری كه گفته شد، به طور نمایی افزایش می‌­یابد.

محیط عمل پدیده آشـوب، سیستم‌های دینامیكی است. یك سیستم دینامیكی شامل یك فضای فــاز مجـرد یا حالت فازی است كه مختصاتش، حالت دینامیكی سیستم را با بكارگیری قوانیــن دینامیكی مشخص می‌­كند. یك سیستم دینامیكی می‌تواند منظم یا آشوبناك باشد. البته سیستــم منظم، خود ممكن است تنــاوبی یا شبه ­تنــاوبی باشد. سیستم تناوبی تنها شامل یك فركانــس و هماهنگ‌های آن است و سیستم شبه تنــاوبی شامل چنــد فركانس و هماهنگ‌های آن می‌­باشد. در سیستم آشــوبی هیچ تنــاوب غالبی وجود ندارد یعنی این سیستــم دارای دوره تنــاوب بی­نهــایت است

جــذب كننــده­‌ها (strange attractors)

یك جذب كننده مجموعه‌­ای از تمام مسیرهایی است كه به سمت یك نقطه ثابت، حلقه محدود یا … همگرا می‌شوند.  نوع دیگری از جذب كننده­‌ها وجود دارند كه آن‌ها را جذب كننده­‌های عجیب(Strange attractors) می‌نامند. جذب كننده‌­های عجیب به شدت نسبت به شرایط اولیه حساس هستند و به آن‌ها عجیب» گفته می­‌شود چون متشكل از مجموعه‌ی فراكتال هستند.

نگاشتــهای تكــرار(Iterated maps)

از آنجا كه توصیف سیستم‌های دینامیكی گسسته در زمان با كمك نگاشت‌های تكرار صورت می‌­پذیرد، در این نوع سیستم‌ها رابطه ­ای به صورت (x_n+1=F(x_n مابین نقاطی كه سیستم انتخاب می­‌كند وجود دارد كه این نقاط با هم تشكیل یك مدار می­‌دهند. بر این اساس منظور از نگاشت، یك رابطه تابعی است از F : R → R كه R مجموعه­‌ای است از نقاط حقیقی كه به وسیله آن مدار(O(x₀ از نقاط x₀  (متعلق به مجموعه اعداد R) در قالب گروهی از نقاط تعریف می‌­شود: (…,(O(x₀)=(x₀, F²(x₀), F³(x_0.

معادله حالت مرتبه اول با در نظر گرفتن (x_n = Fⁿ(x₀، به صورت معادله (x_n+1 = F(x_n  بیان می­‌گردد. می­‌توان نگاشت‌ها را براساس خطی بودن (مانند نگاشت لورنتس، نگاشت تنت (Tent) و …) یا غیرخطی بودن (نگاشت لجستیك، نگاشت هنون (Henon) و …) طبقه بندی كرد.

نقــاط ثابت (Fixed points)

نقاط ثابت در بررسی رفتار نگاشت‌ها از اهمیت خاصی برخوردار است و براساس آن می‌توان نحوه تحول سیستم را درك كرد. از دید هندسی نیز به این طریق می‌­توان نقطه ثابت را توصیف كرد كه: نقطه ثابت نقطه‌­ای است كه از تقاطع خط y = x و منحنی (y = F(x به وجود می‌­آید»

دوشــاخه­ شدگی (Bifurcation)

در سیستم‌های دینامیكی، نقاط ثابت می­‌توانند خلق یا نابود شوند  یا پایداری آنها تغییر كند یعنی تغییر ماهیت داده و از نوع جاذب به دافع ویا برعكس تبدیل شوند. شروع تغییرات در رفتار نقاط ثابت، دوشاخه شدگی گفته می­‌شود. گذار به حالت دوشاخه شدگی با تغییر كمیتی به نام پارامتر كنترل دوشاخه شدگی (Bifurcation control parameter) صورت می­‌گیرد.

• دوشاخه شدگی زینی (Saddle – Node): این نوع دوشاخه شدگی به وسیله خلق یا نابودی نقاط ثابت معلوم می­‌گردد و در نگاشت‌هایی كه از یكی از ضابطه­‌های زیر تبعیت می­‌كنند رخ می‌­دهد: 
  dx/dt = r + x² , dx/dt = r – x²
• دوشاخه شدگی گذار بحرانی (Transcritical): در این نوع دوشاخه شدگی هرگز شاهد خلق یا نابودی نقاط ثابت نبوده بلكه با تغییر پارامتر كنترل، فقط نوع پایداری آنها تغییر می­‌كند. شكل كلی سیستم‌های دینامیكی كه از این نوع دوشاخه شدگی تابعیت می­‌كنند، عبارت است از: dx/dt = r x – x²
• دوشاخه شدگی چنگالی (Pitchfork): این نوع دوشاخه شدن در مسائل فیزیكی كه دارای تقارن هستند، معمول می­‌باشد (برای مثال، دربسیاری از مسائل فیزیكی یك تقارن فضایی بین چپ و راست وجود دارد).

برای ارائه مطالب كلی در مورد دوشاخه شدگی می­توان گفت كه: اگر با تغییر پارامتر دوشاخه شدگی، ساختار هندسی فضای فاز دستخوش تغییر شود در این صورت دوشاخه شدگی رخ داده است. پارامتر كنترل می‌تواند مثبت، منفی یا صفر باشد. تغییر رفتار سیستم‌های دینامیكی را می توان در سه گروه طبقه بندی كرد:

فضای فاز

فضای فاز با كمك مكان (x1) و سرعت (x2) رسم می­‌گردد، لذا می‌­توان گفت كه مجموعه جواب‌هایی به صورت (x1(t), x2(t))، نشانگر یك نقطه در حال حركت در روی منحنی (یعنی مسیر(Trajectory) سیستم) در این فضا خواهند بود.

باید دانست كه به ازای شرایط اولیه متفاوت، فضای فاز كاملاً با مسیرها پوشانده شده لذا هر نقطه‌­ای را می‌­توان به عنوان نقطه اولیه در نظر گرفت. هدف ما این است كه عكس این ساختار را طی كنیم یعنی مسیرها را رسم كرده و بدین وسیله اطلاعات مربوط به جواب‌ها را استخراج نماییم.

فضای فاز مربوط به یك سیستم n ذره‌­ای فضایی است متشكل از ۶n پایه­‌های مختصاتی كه ۳n پایه آن مربوط به مكان و ۳n پایه دیگر مربوط به اندازه حركت است، پس هر نقطه در فضای فاز دارای ۶n مختصه می­‌باشد كه به تنهایی برای توصیف وضعیت سیستم كافی است. وجود ثوابت ابعاد فضای فاز را كاهش می­‌دهد. از حركت یك نقطه در فضای فاز مسیرهای فضای فاز پدید می­‌آیند. در حالت كلی، مجموعه مسیرهای فضای فاز حجمی ۶n بعدی را در فضای فاز اشغال می­‌كنند. البته باید دانست كه به دلیل یكتایی حركت ذره كلاسیكی، مسیرها در فضای فاز یكدیگر را قطع نمی­‌كنند. در نتیجه می­‌توان گفت كه فضای فاز مجموعه‌­ای از حالات ممكن یك سیستم دینامیكی است. یك حالت ویژه و مشخص در فضای فاز سیستم را به طور كامل مشخص می­‌كند و این تمام آن چیزی است كه در مورد شناخت كاملی از آینده نزدیك سیستم مورد نظر، مورد نیاز می‌­باشد. به عنوان مثال، فضای فاز یك آونگ، صفحه‌­ای دو بعدی شامل موقعیت (زاویه) و سرعت است و مطابق با قوانین نیوتن تعیین این دو متغیر به طور مجزا، حركت بعدی آونگ را در زمان‌های بعدی مشخص می­‌كند.

حال اگر یك سیستم غیرمستقل وجود داشته باشد كه میــدان برداری آن (یك معادله دیفــرانسیل به عنوان یك میــدان برداری معرفی می­‌شود) به طور صریح به زمــان بستگی داشته باشد، در آن صورت طبق تعــریف فضای فــاز باید زمان را به عنوان یك مختصه فضای فــاز در نظــر گرفت زیرا برای تعیین حركت در زمان بعدی، یك زمان ویژه باید معلوم باشد. مسیــر در فضای فاز می‌تواند به صورت یك مدار و یا یك منحنی باشد در حالی كه در سیستمی كه نسبت به زمان گسسته است مدار به صورت یك ســری از نقاط می‌­باشد.

سیستم‌های دینامیک غیر خطی و آشوب

سیستم‌های دینامیکی غیرخطی و حتی سیستم‌های خطی گسسته، می‌توانند از خود رفتار کاملاً غیرقابل پیش‌بینی نشان دهند. چنین رفتاری، ممکن است تصادفی به نظر برسد، علی‌رغم این حقیقت که اساساً حتمی هستند (یعنی امکان وجود حالت تصادفی در آن وجود ندارد) این رفتار غیرقابل پیش‌بینی، آشوب خوانده می‌شود.

در سیستم‌های دینامیكی غیرخطی رابطه میان سرعت و موقعیت غیرخطی می­‌باشد. در چنین سیستمی اگر دو جواب داشته باشیم مجموع آنها جواب دیگر سیستم نمی‌­باشد. سیستم دینامیكی غیرخطی را نمی توان به اجزا كوچكتر تقسیم نموده و هر یك را جداگانه حل كرد، بلكه باید كل سیستم را با هم و یكجا مطالعه و بررسی كرد (برای مثال، وقتی كه قسمت‌هایی از یك سیستم تداخل می‌­كنند یا با هم كار می‌­كنند یك برهم‌كنش غیرخطی اتفاق می‌افتد و اصل برهم نهی شكست می‌­خورد). پس می‌­توان گفت كه معادلات مربوط به تحول در این سیستم‌ها حل تحلیلی ندارند و یا حل تحلیلی آنها بسیار مشكل است. برای تجزیه و تحلیل چنین معادلاتی، دینامیك غیرخطی كه در سه بعد منجر به آشوب می­‌گردد مورد استفاده قرار می­‌گیرد؛ از این‌رو برای تحلیل سیستم‌های غیرخطی آشنایی با یك سری مفاهیم اولیه مانند: نقاط ثابت (fixed points) و دو شاخه شدنها (bifurcations) (در یك بعد)، سیكل‌های محدود (limit cycles) (در دو بعد) و فراكتال‌ها یعنی اشكالی با ابعاد غیر صحیح (در سه بعد) لازم است. این مفاهیم در ادامه مورد بحث قرار خواهند گرفت.

سیستم‌های دینامیكی غیرخطی را می­‌توان به دو طریق مورد مطالعه قرار داد:

در صورتی كه تحول در سیستم نسبت به زمان به صورت پیوسته باشد از معادله دیفرانسیل استفاده می‌­شود، مانند معادله نوسانگر هماهنگ میرا یا معادله گرما؛ اما اگر سیستم به صورت گسسته با زمان تحول یابد، به عبارت دیگر در صورتی كه زمان به عنوان عامل جداگانه‌­ای در نظر گرفته شود سیستم در قالب نگاشت‌های تكرار(Iterated maps) مطالعه می­‌گردد، مانند نگاشت لجستیك (Logistic map).

مطالعه سیستم‌های دینامیكی غیرخطی هم اكنون سرلوحه مطالعات در بسیاری از علوم از جمله در: فیزیك، نجوم، ریاضیات، بیولوژی، شیمی، اقتصاد، علوم كامپیوتر، هواشناسی و علوم پزشكی می‌­باشد.

۱- نگاشت گربه آرنولد ۲- نگاشت بیکر نمونه‌ای از نگاشت خطیِ گسسته آشوب ۳- نگاشت دایره ۴- پاندول دوتایی ۵- نگاشت هنون ۶- چرخش گنگ ۷- نگاشت لجیستیک ۸- نگاشت راسلر۹- سیستم لورنتس

تعمیم چند بعدی سیستم‌های دینامیکی

سیستم‌های دینامیکی حول یک متغیر واحدِ مستقل تعریف می‌شوند که معمولاً زمان است. سیستم‌های تعمیم یافته‌تر، حول چندین متغیرِ مستقل تعریف شده و از این‌ روی، سیستم‌های چند بعدی خوانده می‌شوند. چنین سیستم‌هایی در پردازش تصویر دیجیتال مفید هستند.

بعضی مسائل و موضوعات صنعتی – اجتماعی و مدیریتی، پیچیدگی دارند و با فرضیات ساده بینشی و مدیریتی قابل حل نمی‌باشند. نظریه سیستم‌های پویا روشی برای مدل سازی و بررسی عوامل یک سیستم و در نهایت پیدا کردن راه حل مناسب است. امروزه مدل‌سازی از سیستم‌های پیچیده در بسیاری از رشته‌ها مانند هواشناسی، زمین‌شناسی، انتقال جرم و حرارت، مدارهای ماهواره‌ای، مکانیک سماوی و نجوم، دریاشناسی و مکانیک سیالات، گرانش و کیهان‌شناسی کاربرد دارد. سیستم‌های پویا بخش اساسیِ نظریه‌ی آشوب، روند خودسامانی و مفهوم مرزآشوب است.

آگوست فردیناند موبیوس (August Ferdinand Möbius) در روز ۱۷ نوامبر ۱۷۹٠ در شهر زاکسن به دنیا آمد. وی ریاضی‌دان و ستاره شناس مشهور آلمانی است. بیشتر شهرت او به دلیل کشف نوار موبیوس است. نوار موبیوس نواری است که دو لبه آن بر هم قرار گرفته و حلقه‌ای را به وجود می‌آورد؛ البته باید یک لبه انتهایی قبل از اتصال به لبه دیگر نیم دور چرخانده شود. این نوار را دو ریاضی‌دان آلمانی به نام‌های آگوست فردیناند موبیوس و جان بندیکت (Johann Benedict) در سال ۱۸۵۸ به طور مستقل و جداگانه کشف کردند و به ثبت رساندند.

روش ساخت نوار موبیوس

ابتدایی‌ترین راه برای ایجاد این نوار، انتخاب یک نوار مستطیل شکل و نرمی است که آن را یک بار می‌پیچانیم و سپس دو انتهای آن را به هم متصل می‌کنیم. سطحی که به این ترتیب به دست می‌آید نوار موبیوس» نامیده می‌شود.

این سطح تنها یک رو دارد. به بیان دیگر، یک صفحه کاغذی را می‌توان با دو رنگ گوناگون در دو طرف آن رنگ کرد اما نوار موبیوس را با این روش نمی‌توان با دو رنگ مختلف رنگ کرد. در صورت اقدام به چنین کاری به همان جایی که رنگ کردن را در ابتدا آغاز کرده‌ بودیم، می‌رسیم؛ در حالی که در طرف دیگر نوار هستیم! پس نوار موبیوس، سطحی است که یک رو دارد و حرکت ما روی آن تا بینهایت بار تکرار می شود.

تعریف ریاضی نوار موبیوس

دلیل یک رویه بودن» این نوار آن است که در هر نقطه a از نوار موبیوس می‌توان دو بردار با جهت‌های مختلف رسم کرد که بر نوار موبیوس در این نقطه عمود باشد. این بردارها را قائم‌های نوار موبیوس در نقطه a می‌نامیم. یکی از این بردارها را انتخاب و نقطه a را به تدریج روی نوار موبیوس جابجا می‌کنیم. در این صورت بردار ما هم همراه با نقطه a جابجا می‌شود. بنابراین، روی نوار موبیوس چنان مسیر بسته‌ای وجود دارد که اگر قائمی این مسیر را روی سطح بپیماید، به جای این که به وضع نخستین خود برسد، روی برداری که در جهت مخالف وضع نخستین آن است قرار می‌گیرد.

مرز یک ناحیه در فضا

مرزِ یک ناحیه، خط جدا کننده آن ناحیه از ناحیه دیگر است. در ریاضیات برای یک سطح سه مفهوم تعریف می شود:

۱- نقطه داخلی: نقطه ای که بتوان آن را داخل یک دایره روی سطح محصور کرد.

۲- نقطه خارجی: نقطه ای است که بتوانیم دایره ای حول آن رسم کنیم که متعلق به آن سطح نباشد.

۳- نقطه مرزی: نقطه ای است که هر دایره ای حول آن رسم شود، قسمتی از آن متعلق به سطح و قسمت دیگر آن متعلق به خارج آن سطح باشد.

با این تعریف نوار موبیوس فقط یک مرز دارد. یعنی با یک بار حرکت در کرانه‌های انتهای نوار تمام مرز آن را می توانیم طی کنیم.

نکاتی در رابطه با نوار موبیوس ( Möbius strip )

اگر با یک خودکار بر روی نوار موبیوس خطی در طول نوار بکشیم و ادامه دهیم این خط دوباره به نقطه شروع باز می‌گردد و هر دو طرف نوار خط کشیده می‌شود! در واقع، نوار موبیوس ( Möbius strip ) مثالی از یک رویه بدون جهت (جهت ناپذیر) است. یعنی نوار موبیوس سطحی است که یک رو دارد. نوار موبیوس خواص غیرمنتظره دیگری نیز دارد؛ برای نمونه، هرگاه بخواهیم این نوار را در امتداد طولش بِـبُریم به جای این که دو نوار به دست بیاوریم، یک نوار بلندتر و با دو چرخش به دست می آوریم! همچنین با تکرار دوباره این کار دو نوار موبیوس در هم پیچ خورده به دست می‌آید. با ادامه این کار یعنی بریدن پیاپی نوار، در انتهای کار تصاویر غیرمنتظره‌ای ایجاد می‌شود که به حلقه‌های پارادرومیک (paradromic rings) موسومند. همچنین اگر این نوار را از یک سوم عرض نوار ببریم، دو نوارِ موبیوس در هم گره شده با طولهای متفاوت به دست خواهیم آورد. تمامی این کارها به آسانی قابل اجراء هستند.

کاربرد نوار موبیوس در معماری

خاصیت موبیوسی: خاصیتی است که رابطه بین درون» و بیرون» را وارونه می‌کند. یعنی هر نقطه از یک سطح موبیوسی در عین حال که درون است، بیرون نیز می‌باشد! بنابراین در یک تغییر پیوسته، نوعی دگرگونی در ماهیت یک فضا صورت می‌گیرد. در واقع در این حالت فضا خاصیت دو گانه اما پیوسته پیدا می‌کند. خاصیت موبیوس که گذر از درون به برون و از برون به درون را ممکن می‌کند، کمابیش توانسته است بر فراز شکاف حاصل از دوگانگی (ثنویت) پلی بزند (شایگان،۱۳۸٠). بنابراین، فضای ِمیان برون و درون»، پیوستگی» و تکرار» با یک تعریف ریاضی به یک سطح هندسی تبدیل می‌شود. سطحی که بر آن در هر لحظه ای هم داخل و هم خارج فضا هستیم. این ویژگی در طراحی معماری مورد توجه قرار گرفته است.