سیستم‌های دینامیکی ریاضی

سیستمِ پویا یا سیستمِ دینامیک (dynamical system) در ریاضیات و حل مسائل صنعتی، اجتماعی و مدیریتی، به سامانه‌هایی گفته می‌شود که حالت آن‌ها با زمان تغییر می‌کند. به عبارت دیگر، در آن یک تابع نحوه وابستگی نقاطی از یک فضای هندسی را به زمان توصیف می‌کند. پویایی سیستم» (system dynamics) را نباید با سیستم پویا» (dynamical system) اشتباه گرفت؛ این دو وماً به یک مفهوم اشاره نمی‌کنند. مثالی از یک سیستم پویا (یا سیستم دینامیک)، وابستگی زمانی نقاط مختلف یک آونگ متحرک یا آب جاری در یک لوله است. برای هر زمان معین، یک سیستم دینامیک، یک حالت» دارد که می‌توان آن را با مجموعه‌ای از اعداد حقیقی(یک بردار) که به وسیله یک نقطه در یک فضای حالت» مناسب (یک منیفلد هندسی) نشان داده می‌شود بیان کرد. برای هر تغییر کوچک در حالت سیستم دینامیکی، یک تغییر کوچک در اعداد متناظر داریم.

پیدایش سیستم‌های دینامیکی

سیستم‌های دینامیکیشاخه‌ای گسترده از دانش ریاضی و کاربردهای آن را دربرگرفته و به عنوان یکی از زمینه‌های فعال و زنده آن مطرح است. بیشتر از سه قرن پیش نیوتن بذر این علم را کاشته‌ است و این علم با تلاش دانشمندان بسیاری رشد یافت. در حدود یک قرن پیش هنری پوانکاره، این شاخه از علم را به درختی تناور و محکم مبدل کرد. ازآنجا که جریان‌های اصلی این علم به واسطه تحلیل یک مدل خاص در یک مسئله طبیعی یا ریاضی به راه افتاده‌اند و در هر زمینه‌ای تعاریف و صورت‌ بندی قضایا با موضوع مورد بحث، متناسب است طبیعی است که اختلاف نظرها و اختلاف سلیقه‌های بسیار در تعاریف و اهداف موردنظر شاخه‌ها ایجاد شوند به گونه‌ای که ممکن است حتی ذهن شخص نا آشنا را به تشتت دچارکنند. بنابراین، منشأ مفهوم سیستم دینامیکی به مکانیک نیوتنی برمی‌گردد و پیدایش مفاهیم مربوط به سامانه‌های دینامیکی از کارهای وسیع و اساسی پوانکاره درباره‌ی مکانیک اجرام آسمانی حدود یک قرن پیش شروع شد.

سیستم‌های دینامیکی

دسته بندی مختلفی از انواع سیستم‌های دینامیکی مطرح است. یه عنوان مثال، سیستم‌‌های دینامیکی گسسته و سسیستم‌های دینامیکی پیوسته، سیستم های متناهی البعد در مقابل نامتناهی البعد، سیستم های توپولوژیک درکنار مشتق پذیر، مختلط در مقابل حقیقی؛ دسته بندی دیگری نیز موجود است که بر اساس گسسته و پیوسته بودن سه مفهوم فضا، زمان و حالت معین می شود؛ این دسته بندی در جدول زیر خلاصه شده است.

سیستم‌های دینامیک خطی

سیستم‌های خطی سیستم‌هایی هستند که عملکرد آن‌ها به حالت آن‌ها بستگی نداشته باشد. یعنی تنها با دانستن نقطه ابتدایی حرکت، می‌توانیم تمامی موقعیت‌های آینده آن را بدانیم. عملکرد یک سیستم خطی دینامیکی، تنها به نقطه اولیه آن مربوط است و به حالت و موقعیت آن در زمان‌های مختلف بستگی ندارد.

سیستم‌هایی كه در آن‌ها یك رابطه خطی میان سرعت و موقعیت برقرار می‌­شود، سیستمه‌ای خطی به شمار می­‌آیند. تكامل تدریجی سیستم‌های دینامیكی خطی نیز فرآیندی خطی است. اگر دو جواب برای سیستم خطی داشته باشیم مجموع آن‌ها نیز یك جواب برای سیستم است. هم چنین سیستم‌های خطی از این قابلیت برخوردار هستند كه آن‌ها را می­‌توان با تجزیه مسئله به اجزا كوچكتر مورد بررسی قرار داده و سپس با جمع بندی نتایج، به تحلیل كلی آن‌ها اقدام كرد و این از جمله مواردی است كه تحلیل سیستم‌های خطی را آسان می­‌سازد (مانند آنالیز فوریه، مباحث برهم نهی و …). در نهایت می‌­توان گفت كه تجزیه و تحلیل معادلات مربوط به این سیستم‌ها شناخته شده است. 

سیستم‌های دینامیکی خطی، سیستم‌های دینامیکی هستند که در آن‌ها توابع ارزیابی خطی هستند. سیستم‌های دینامیکی به طور کلی راه حل‌های فرم بسته ندارند اما سیستم‌های دینامیکی خطی دارای یک مجموعه دقیق غنی از خواص ریاضی هستند. سیستم‌های خطی همچنین می‌توانند برای درک رفتار کیفی سیستم‌های دینامیکی عمومی با محاسبه نقاط تعادل سیستم و تقریب زدن آن به عنوان سیستم خطی در اطراف هر نقطه مورد استفاده قرار گیرند.

سیستم‌های دینامیکی خطی را در مقایسه با سیستم‌های غیرخطی به طور دقیق می‌توان حل کرد. علاوه بر این، راه حل‌های (تقریبی) هر سیستم غیرخطی می‌تواند با استفاده از یک سیستم خطی معادل نزدیک به نقاط ثابت آن به خوبی تقریب زده شود. از این رو درک سیستم‌های خطی و راه حل‌های آن یک گام مهم اولیه برای درک سیستم‌های غیرخطی پیچیده است.

مفاهیم اولیه در سیستم‌های دینامیکی غیرخطی آشوب (chaos)

آشــوب» در لغت به معنای هرج و مرج و بی­‌نظمی است. ریشه لغوی آشوب به كلمه رومی كائــوس» (Kaous) برمی­‌گردد كه مفهوم آن متعلق به شاعر روم باستان به نام اویــد» (Owid) می­‌باشد. به نظر او كائوس، بی­‌نظمی و ماده بی­‌شكل اولیه بود كه دارای فضا و بعد نامحدودی بوده، به طوری كه فرض شده است كه قبل از این كه جهان منظم شكل بگیرد، وجود داشته است كه سپس خالق هستی، جهان منظم را از آن ایجاد نمود.

از لحاظ تاریخی پس از آن كه قوانین نیوتــن در مورد حركت ارائه شد، افــراد زیادی با تكیه بر قطعیت ذاتی این قوانین آنهـ‌ـا را ماشین حساب خدا نامیدند و برای پیش‌گویی آینــده بر حسب مقادیر فعلی كافی دانستند؛ به طور كلی تصور بر این بود كه اگر وضعیت فعلی را با دقت بالایی بدانیم می‌توانیم آینــده را هم با همین دقت پیش‌گویی كنیم. این باور هم‌چنان پا بر جا بود تا این كه در اواخر قــرن نوزدهم، هانــری پوانكاره» در بــررسی و تلاش بــرای حل مسئله سه جسمی متــوجه شد در بعضی موارد اگر دقــت در شــرایط اولیه بالا باشد، وماً در نتــایج نهــایی عدم قطعیت ناچیز نیست و با كاهش عدم قطعیت در شــرایط اولیه وماً عدم قطعیت كاهش نمی‌­یابد. این مسئله نمودی از رفتــار آشــوبی بود كه در آن زمان شنــاخته شــده نبود. تقریبــاً اولیــن تحقیقات عددیی كه به معرفی فراگیر آشوب انجامید توسط ادوارد لورنتــس» ارائه شد.

تاكنون تعریف كلی پذیرفته شده برای آشوب ارائه نشده است و تعریف زیر از جمله تعاریف پذیرفته شده مطرح می‌­باشد:

آشــوب، یك رفتــار طولانی مدت غیرپریــودیك در یك سیستم دترمینیســتیك است كه وابستـگی حســاس به شــرایط اولیــه را نشان می‌­دهد»

• منظور از رفتار طولانی مدت غیریك در سیستم‌های دینامیكی آن است كه مسیرهایی وجود دارند كه وقتی زمان به بی­نهایت میل می‌­كند، مسیر این سیستم‌ها به نقاط ثابت، مدارهای یك و یا مدارهای شبه یك منتهی نمی‌­شوند.
• دترمینیســتیك گویای آن است كه سیستم دارای پارامترها یا ورودی­‌های تصادفی(random) نیست ولی رفتار بی نظم این سیستم‌ها از غیرخطی بودن ناشی می‌­شود. این اصطلاح در مقابل stochastic به كار می‌­رود كه منظور از آن نامنظم، كاتوره­ای، نامعین و غیرقابل پیش بینی بودن رفتار سیستم است.
• منظور از حساس بودن به شرایط اولیه در سیستم‌های دینامیكی این است كه مسیرهای مجاور با سرعت و به طور نمایی از هم جدا می­‌شوند. در واقع این خصوصیت، تفاوت اصلی سیستم‌های دینامیكی آشوبناك با سیستم‌های دینامیكی غیر­آشوبناك است. در سیستم‌های دینامیكی غیر­آشوبناك، اختلاف كوچك اولیه در دو مسیر به عنوان خطای اندازه‌­گیری بوده و به طور خطی با زمان افزایش پیدا می‌­كند در حالی كه در سیستم‌های دینامیكی آشوبناك، اختلاف بین دو مسیر با فاصله بسیار اندك همان طوری كه گفته شد، به طور نمایی افزایش می‌­یابد.

محیط عمل پدیده آشـوب، سیستم‌های دینامیكی است. یك سیستم دینامیكی شامل یك فضای فــاز مجـرد یا حالت فازی است كه مختصاتش، حالت دینامیكی سیستم را با بكارگیری قوانیــن دینامیكی مشخص می‌­كند. یك سیستم دینامیكی می‌تواند منظم یا آشوبناك باشد. البته سیستــم منظم، خود ممكن است تنــاوبی یا شبه ­تنــاوبی باشد. سیستم تناوبی تنها شامل یك فركانــس و هماهنگ‌های آن است و سیستم شبه تنــاوبی شامل چنــد فركانس و هماهنگ‌های آن می‌­باشد. در سیستم آشــوبی هیچ تنــاوب غالبی وجود ندارد یعنی این سیستــم دارای دوره تنــاوب بی­نهــایت است

جــذب كننــده­‌ها (strange attractors)

یك جذب كننده مجموعه‌­ای از تمام مسیرهایی است كه به سمت یك نقطه ثابت، حلقه محدود یا … همگرا می‌شوند.  نوع دیگری از جذب كننده­‌ها وجود دارند كه آن‌ها را جذب كننده­‌های عجیب(Strange attractors) می‌نامند. جذب كننده‌­های عجیب به شدت نسبت به شرایط اولیه حساس هستند و به آن‌ها عجیب» گفته می­‌شود چون متشكل از مجموعه‌ی فراكتال هستند.

نگاشتــهای تكــرار(Iterated maps)

از آنجا كه توصیف سیستم‌های دینامیكی گسسته در زمان با كمك نگاشت‌های تكرار صورت می‌­پذیرد، در این نوع سیستم‌ها رابطه ­ای به صورت (x_n+1=F(x_n مابین نقاطی كه سیستم انتخاب می­‌كند وجود دارد كه این نقاط با هم تشكیل یك مدار می­‌دهند. بر این اساس منظور از نگاشت، یك رابطه تابعی است از F : R → R كه R مجموعه­‌ای است از نقاط حقیقی كه به وسیله آن مدار(O(x₀ از نقاط x₀  (متعلق به مجموعه اعداد R) در قالب گروهی از نقاط تعریف می‌­شود: (…,(O(x₀)=(x₀, F²(x₀), F³(x_0.

معادله حالت مرتبه اول با در نظر گرفتن (x_n = Fⁿ(x₀، به صورت معادله (x_n+1 = F(x_n  بیان می­‌گردد. می­‌توان نگاشت‌ها را براساس خطی بودن (مانند نگاشت لورنتس، نگاشت تنت (Tent) و …) یا غیرخطی بودن (نگاشت لجستیك، نگاشت هنون (Henon) و …) طبقه بندی كرد.

نقــاط ثابت (Fixed points)

نقاط ثابت در بررسی رفتار نگاشت‌ها از اهمیت خاصی برخوردار است و براساس آن می‌توان نحوه تحول سیستم را درك كرد. از دید هندسی نیز به این طریق می‌­توان نقطه ثابت را توصیف كرد كه: نقطه ثابت نقطه‌­ای است كه از تقاطع خط y = x و منحنی (y = F(x به وجود می‌­آید»

دوشــاخه­ شدگی (Bifurcation)

در سیستم‌های دینامیكی، نقاط ثابت می­‌توانند خلق یا نابود شوند  یا پایداری آنها تغییر كند یعنی تغییر ماهیت داده و از نوع جاذب به دافع ویا برعكس تبدیل شوند. شروع تغییرات در رفتار نقاط ثابت، دوشاخه شدگی گفته می­‌شود. گذار به حالت دوشاخه شدگی با تغییر كمیتی به نام پارامتر كنترل دوشاخه شدگی (Bifurcation control parameter) صورت می­‌گیرد.

• دوشاخه شدگی زینی (Saddle – Node): این نوع دوشاخه شدگی به وسیله خلق یا نابودی نقاط ثابت معلوم می­‌گردد و در نگاشت‌هایی كه از یكی از ضابطه­‌های زیر تبعیت می­‌كنند رخ می‌­دهد: 
  dx/dt = r + x² , dx/dt = r – x²
• دوشاخه شدگی گذار بحرانی (Transcritical): در این نوع دوشاخه شدگی هرگز شاهد خلق یا نابودی نقاط ثابت نبوده بلكه با تغییر پارامتر كنترل، فقط نوع پایداری آنها تغییر می­‌كند. شكل كلی سیستم‌های دینامیكی كه از این نوع دوشاخه شدگی تابعیت می­‌كنند، عبارت است از: dx/dt = r x – x²
• دوشاخه شدگی چنگالی (Pitchfork): این نوع دوشاخه شدن در مسائل فیزیكی كه دارای تقارن هستند، معمول می­‌باشد (برای مثال، دربسیاری از مسائل فیزیكی یك تقارن فضایی بین چپ و راست وجود دارد).

برای ارائه مطالب كلی در مورد دوشاخه شدگی می­توان گفت كه: اگر با تغییر پارامتر دوشاخه شدگی، ساختار هندسی فضای فاز دستخوش تغییر شود در این صورت دوشاخه شدگی رخ داده است. پارامتر كنترل می‌تواند مثبت، منفی یا صفر باشد. تغییر رفتار سیستم‌های دینامیكی را می توان در سه گروه طبقه بندی كرد:

فضای فاز

فضای فاز با كمك مكان (x1) و سرعت (x2) رسم می­‌گردد، لذا می‌­توان گفت كه مجموعه جواب‌هایی به صورت (x1(t), x2(t))، نشانگر یك نقطه در حال حركت در روی منحنی (یعنی مسیر(Trajectory) سیستم) در این فضا خواهند بود.

باید دانست كه به ازای شرایط اولیه متفاوت، فضای فاز كاملاً با مسیرها پوشانده شده لذا هر نقطه‌­ای را می‌­توان به عنوان نقطه اولیه در نظر گرفت. هدف ما این است كه عكس این ساختار را طی كنیم یعنی مسیرها را رسم كرده و بدین وسیله اطلاعات مربوط به جواب‌ها را استخراج نماییم.

فضای فاز مربوط به یك سیستم n ذره‌­ای فضایی است متشكل از ۶n پایه­‌های مختصاتی كه ۳n پایه آن مربوط به مكان و ۳n پایه دیگر مربوط به اندازه حركت است، پس هر نقطه در فضای فاز دارای ۶n مختصه می­‌باشد كه به تنهایی برای توصیف وضعیت سیستم كافی است. وجود ثوابت ابعاد فضای فاز را كاهش می­‌دهد. از حركت یك نقطه در فضای فاز مسیرهای فضای فاز پدید می­‌آیند. در حالت كلی، مجموعه مسیرهای فضای فاز حجمی ۶n بعدی را در فضای فاز اشغال می­‌كنند. البته باید دانست كه به دلیل یكتایی حركت ذره كلاسیكی، مسیرها در فضای فاز یكدیگر را قطع نمی­‌كنند. در نتیجه می­‌توان گفت كه فضای فاز مجموعه‌­ای از حالات ممكن یك سیستم دینامیكی است. یك حالت ویژه و مشخص در فضای فاز سیستم را به طور كامل مشخص می­‌كند و این تمام آن چیزی است كه در مورد شناخت كاملی از آینده نزدیك سیستم مورد نظر، مورد نیاز می‌­باشد. به عنوان مثال، فضای فاز یك آونگ، صفحه‌­ای دو بعدی شامل موقعیت (زاویه) و سرعت است و مطابق با قوانین نیوتن تعیین این دو متغیر به طور مجزا، حركت بعدی آونگ را در زمان‌های بعدی مشخص می­‌كند.

حال اگر یك سیستم غیرمستقل وجود داشته باشد كه میــدان برداری آن (یك معادله دیفــرانسیل به عنوان یك میــدان برداری معرفی می­‌شود) به طور صریح به زمــان بستگی داشته باشد، در آن صورت طبق تعــریف فضای فــاز باید زمان را به عنوان یك مختصه فضای فــاز در نظــر گرفت زیرا برای تعیین حركت در زمان بعدی، یك زمان ویژه باید معلوم باشد. مسیــر در فضای فاز می‌تواند به صورت یك مدار و یا یك منحنی باشد در حالی كه در سیستمی كه نسبت به زمان گسسته است مدار به صورت یك ســری از نقاط می‌­باشد.

سیستم‌های دینامیک غیر خطی و آشوب

سیستم‌های دینامیکی غیرخطی و حتی سیستم‌های خطی گسسته، می‌توانند از خود رفتار کاملاً غیرقابل پیش‌بینی نشان دهند. چنین رفتاری، ممکن است تصادفی به نظر برسد، علی‌رغم این حقیقت که اساساً حتمی هستند (یعنی امکان وجود حالت تصادفی در آن وجود ندارد) این رفتار غیرقابل پیش‌بینی، آشوب خوانده می‌شود.

در سیستم‌های دینامیكی غیرخطی رابطه میان سرعت و موقعیت غیرخطی می­‌باشد. در چنین سیستمی اگر دو جواب داشته باشیم مجموع آنها جواب دیگر سیستم نمی‌­باشد. سیستم دینامیكی غیرخطی را نمی توان به اجزا كوچكتر تقسیم نموده و هر یك را جداگانه حل كرد، بلكه باید كل سیستم را با هم و یكجا مطالعه و بررسی كرد (برای مثال، وقتی كه قسمت‌هایی از یك سیستم تداخل می‌­كنند یا با هم كار می‌­كنند یك برهم‌كنش غیرخطی اتفاق می‌افتد و اصل برهم نهی شكست می‌­خورد). پس می‌­توان گفت كه معادلات مربوط به تحول در این سیستم‌ها حل تحلیلی ندارند و یا حل تحلیلی آنها بسیار مشكل است. برای تجزیه و تحلیل چنین معادلاتی، دینامیك غیرخطی كه در سه بعد منجر به آشوب می­‌گردد مورد استفاده قرار می­‌گیرد؛ از این‌رو برای تحلیل سیستم‌های غیرخطی آشنایی با یك سری مفاهیم اولیه مانند: نقاط ثابت (fixed points) و دو شاخه شدنها (bifurcations) (در یك بعد)، سیكل‌های محدود (limit cycles) (در دو بعد) و فراكتال‌ها یعنی اشكالی با ابعاد غیر صحیح (در سه بعد) لازم است. این مفاهیم در ادامه مورد بحث قرار خواهند گرفت.

سیستم‌های دینامیكی غیرخطی را می­‌توان به دو طریق مورد مطالعه قرار داد:

در صورتی كه تحول در سیستم نسبت به زمان به صورت پیوسته باشد از معادله دیفرانسیل استفاده می‌­شود، مانند معادله نوسانگر هماهنگ میرا یا معادله گرما؛ اما اگر سیستم به صورت گسسته با زمان تحول یابد، به عبارت دیگر در صورتی كه زمان به عنوان عامل جداگانه‌­ای در نظر گرفته شود سیستم در قالب نگاشت‌های تكرار(Iterated maps) مطالعه می­‌گردد، مانند نگاشت لجستیك (Logistic map).

مطالعه سیستم‌های دینامیكی غیرخطی هم اكنون سرلوحه مطالعات در بسیاری از علوم از جمله در: فیزیك، نجوم، ریاضیات، بیولوژی، شیمی، اقتصاد، علوم كامپیوتر، هواشناسی و علوم پزشكی می‌­باشد.

۱- نگاشت گربه آرنولد ۲- نگاشت بیکر نمونه‌ای از نگاشت خطیِ گسسته آشوب ۳- نگاشت دایره ۴- پاندول دوتایی ۵- نگاشت هنون ۶- چرخش گنگ ۷- نگاشت لجیستیک ۸- نگاشت راسلر۹- سیستم لورنتس

تعمیم چند بعدی سیستم‌های دینامیکی

سیستم‌های دینامیکی حول یک متغیر واحدِ مستقل تعریف می‌شوند که معمولاً زمان است. سیستم‌های تعمیم یافته‌تر، حول چندین متغیرِ مستقل تعریف شده و از این‌ روی، سیستم‌های چند بعدی خوانده می‌شوند. چنین سیستم‌هایی در پردازش تصویر دیجیتال مفید هستند.

بعضی مسائل و موضوعات صنعتی – اجتماعی و مدیریتی، پیچیدگی دارند و با فرضیات ساده بینشی و مدیریتی قابل حل نمی‌باشند. نظریه سیستم‌های پویا روشی برای مدل سازی و بررسی عوامل یک سیستم و در نهایت پیدا کردن راه حل مناسب است. امروزه مدل‌سازی از سیستم‌های پیچیده در بسیاری از رشته‌ها مانند هواشناسی، زمین‌شناسی، انتقال جرم و حرارت، مدارهای ماهواره‌ای، مکانیک سماوی و نجوم، دریاشناسی و مکانیک سیالات، گرانش و کیهان‌شناسی کاربرد دارد. سیستم‌های پویا بخش اساسیِ نظریه‌ی آشوب، روند خودسامانی و مفهوم مرزآشوب است.

چگونه از بازاریابی ویدیویی استفاده کنیم

آموزش و تدریس خصوصی ریاضی در شیراز

آموزش و تدریس خصوصی ریاضی